не силен в js, но при этом разве не будут проблемы с тем, что открыв на соседней вкладке тот же сайт юзер окажется разлогиненен?
А тут уже вопрос - описать, какое поведение ты считаешь желательным, и продумать, как его реализовать. Если что - refreshToken во многих сценариях есть смысл хранить. Но я бы рекомендовал indexedDB а не localStorage - он, вроде, немного лучше защищён от атак извне (из локальных программ)