Итого:

async def main():
   # Создание объекта бота и регистрация хэндлеров
   bot = Bot(token="xxx")
   dp = Dispatcher(bot)
   dp.register_message_handler(my_handler)

   # Пихание Telethon-сессий в массив
   accounts = await dbworker.get_accounts()
   sessions = []
   for account in accounts:
       sessions.append(run_client(TelegramClient(StringSession(account[2]), config.app_id, config.app_hash)))
   
   # Пихание поллинга бота в массив
   sessions.append(dp.start_polling())

   # Запуск всех корутин
   await asyncio.gather(*sessions)


if __name__ == '__main__':
   # Точка входа в это безумие
   asyncio.run(main())

Спасибо @Tishka17, @martin_winks и остальным