UPDATE: Может кому-то понадобиться.
1. Получать message_id , и его использовать.
2. при регистрации нужно использовать content_types :
@dp.message_handler(commands=["contact"], state="*", content_types=ContentTypes.ANY)
3. При инициализации окна диалога нужно опять же указать content_types:
Window(
Const("Enter message:"),
MessageInput(message_handler, content_types=ContentTypes.ANY),
state=MessageStates.init,
),