Обязаны обслужить клиента. Права требовать какие-то дополнительные документы, справки о зарплате или алиментах кассир не имеет.
как я уже говорил, карта формально действительна только в сочетании с документом, удостоверяющим личность. Если Вас это ни разу не затронуло, это не означает, что во всем мире так. Равно как и не означает, что на практике "чужую" карту текущего использовать.