Там несколько помню как у хрома, он кладет обновление а отдельную папку и должен переделать после перезапуска все ярлыки.
Я так ставил: когда мне надоело, что в репах до сих пор версия 1.2, я полез в официальный сайт, там мне вручили архив с 2-мя бинарниками: Telegram и Updater. Я распаковал в /opt и запустил из терминала, а ярлык в пуск телега сама потом добавила. Хз что за папка /opt, но она пустая, и я там держу бинарники, которые мне вручают в виде tar.gz, чтобы из под всех пользователей видно было (когда я ставил AndroidStudio, README посоветовал положить туда). До меня сейчас дошло, что скорее всего дело в том, у моего юзера (ну не под судо же телеграм включается) нет прав на запись в /opt/Telegram, поэтому обновлятель падает, но виду не подает. Права я давал на папку андроид-студио, а на телегу забыл. 🤷♂️
Это конечно теория, но очень вероятная.