Сделай переменную что-то по типу
const checked = !!localStorage.getItem('checked') || false
И это будет твоим состоянием при рендере переключателя, его нужно указывать как value
А при клике на него просто в тот же localStorage делай запись по тому же названию итема как выше
Ну и всё, и каждый раз после обновления будешь видеть сохранённый результат
С телефона неудобно писать более развернуто, надеюсь всё понятно объяснил