Обычно работодатель в большинстве случае для работника-кеннисмигранта все делает. Для членов семьи, часто тоже, но опционально. Дело в том что кеннисмигрант сам на себя подать не может, а вот члены семьи - да.
Теперь по поводу того что если ВНЖ не кончился - там hand over просто происходит и новая компания что-то там отсылает в ИНД что типа теперь они вас ведут. Но для этого карточку менять не надо если у нее еще допустим приличный срок есть. Но тут опять нюанс - новая компания должна тоже соответствовать требованиям КМа.