function getFunction(address, callback) {
    let res;
    let data = {
        action: 'bridge',
        address: address
    };
    $.ajax({
        url: ajaxurl,
        type: 'POST',
        data: data,
        dataType: 'json'
    })
    .done(function(otherData) { // должны быть разные имена чтобы не путаться!
        res = {
            someData: otherData,
            success: true
        };
        callback(res); // вызов callback!
    })
    .fail(function(xhr, ajaxOptions, thrownError) {
        res = {
            success: false
        };
        callback(res); // вызов callback!
    });
    // без return!
}

getFunction('что-то',function(myRes){
    // myRes доступна тут
    if(myRes.success){
        console.log('ajax-запрос вернул:', myRes.someData);
    } else {
        alert('ашипка');
    }
});
// myRes НЕ доступна тут