так как же его отправить не через public
Как вам писали в самом начале, надо через хэш делать. Т.е. делать роут на получение файла, в котором будет логика на проверку прав доступа, а если эта логика - ок, то файл нативно отдается браузеру. На сколько вам именно эта логика нужна и что вы хотели этим приватом - хз )
Постараюсь найти статью как это сделать, вроде надавна была ссылка на хабре в ларавел дайджесте