У меня висит в фоне background.js, расширение для chrome, успешно получает данные со страницы, но как отправить я не знаю.  Точнее я могу отправить в content script, но контент скрипт изолирован от объектов страницы

Вы понимаете, что две вкладки в браузере могут быть разными процессами с точки зрения операционной системы. И чтобы одна страница получила сообщение, нужно чтобы она его ждала и умела его обработать ) То есть, это будет либо IPC (межпроцессное взаимодействие) или же что вроде клиент-сервер, тогда нужен некий протокол скажем TCP или какой то другой поверх TCP и порт, на котором будет одна вкладка слушать другую ))

не могут быть, а так и есть. но у него ситуация кардинально меняется потому что он делает экстеншн

Все верно, но они все же могу общаться. Есть как минимум 2 способа:
1. window.postMessage
2. добавление на странцу инлайновых скриптов

Все верно, но они все же могу общаться. Есть как минимум 2 способа:
1. window.postMessage
2. добавление на странцу инлайновых скриптов

В первом случае мне мешает CORS

В первом случае мне мешает CORS

Зачем вам так мучатся ?)))
Задача по-другому не решается ?)

То есть вместо передачи данных в табу, я вставляю инлайном скрипт в дом с необходимыми данными?

Подскажите как?) Я буду благодарен, за лучшее решение

Ну через некий сервер (бэк-енд)

Каким образом он мешает? Он как раз и нужен для cross origin взаимодействий

Там не надо бэкенда

window.postMessage не работает если корневой домен различный

Вот что пишут