Здравствуйте, каким образом можно реализовать сохранение данных, которые отправляются/принимаются по websocket, в бд (postgreSQL)?
используй асинхронный адаптер к базе. Ну, либо создай асинхронную задачу из синхронного кода. Для asyncio это делается через run_in_executor