Логично начинать с тех тестов, которые при наименьших трудозатратах дадут максимальный результат по задаче, которая перед тобой стоит.
Дальше все зависит от ситуации.
В определённом количестве случаев написать простой тестовых набор для API тестов и прикрутить их к CI даст больше результата, чем UIные тесты.
И по времени это займёт столько же, если не меньше.
Начинать тестировать апи когда к тебе пришли и сказали «мы тут сделали фичу, протыкай пожалуйста что оно работает» не то, что бы неправильно, это просто неуважение к коллегам, потому что просили тебя не об этом.
Хотя вполне возможно, что с точки зрения эффективности (количество покрытых кейсов, скорость, масштабируемость, етк) такие тесты были бы лучше.