Насколько я читал, работать можно имея специальную визу и они вроде как отличаються от виз аля ПМЖ.
Это специфично для каждой страны наверное, но как правило, в EU для простых смертных (не дипломаты и т.д.) есть:
туристические визы - ограничены по времени и нельзя работать
внж - ограничены по времени и можно работать
пвмж - неограничены по времени и можно работать