1. RedPanda (найдите их во вконтакте) делают медстраховки
2. Для PhD обычно делают учебные разрешения на проживание, для постдоков разрешение на проживание с целью проведения исследования. Учебные разрешения подают и рассматривают на студенческом отделении МВЧР, исследовательские могут ускорить, попробуйте обратиться в некоммерческую оргу EURAXESS
2.1. По моему опыту получение исследовательского разрешения с помощью EURAXESS существенно проще и приятнее чем самому собирать доки и получать через МВЧР. По крайней мере они их проверят и не получится что вы что-то подали не так. Если что, речь только о разрешении на проживание, которое получают уже проживающие в стране иностранцы. Визу дают в посольстве, не знаю как в связи с политическим обострением сейчас с ними дела, вроде в Екатеринбурге продолжают выдавать.
3. Обычно дают за пару-тройку месяцев. У МВЧР есть официально установленная lhuta на принятие решения (90 дней если правильно смотрю на
https://www.mvcr.cz/clanek/vizum-k-pobytu-nad-90-dnu-dlouhodobe.aspx), если они не укладывается в этот дедлайн им можно дать жалобу.