Тем более, с собакой.
Относительно мск -- я в этом городе постоянно живу и надобности в поисках отелей не было.
В целом, рекомендовал бы Airbnb, там можно фильтрами поставить многое.
Что касается районов -- вся мск в пределах кольца метро -- красивая.