Возможно имеет место быьт недопонимание - лимит 6К это сколько можно снять максимум за одну операцию. Можно снимать несколько раз. Этот лимит определяет банк владелец банкомата, а не Тинькофф.
Со стороны Тинькофф то же есть своеобразный лимит - снять можно и 100 и 200р, но будет с комиссией. Без комиссии от 3000.
В целом снимал в большинстве банкоматов суммы с большим диапазоном от 3 т.р. все норм. Да, один раз мучался снимал в сбербанке 38 т.р. в 7 подходов, важно что бы последний у вас то же был суммой не менее 3К - 5*6+5+3.