Ты дебил ?! Простите вырвалось. В трудовом договоре указывается выход в новую компанию и действовать он начинает с этой даты. И да можно иметь два договора, никто не мешает. Тем более трудовая книжка уже того.
Но не могу не добавить)
Напишите заявление своему работодателю о том, что надо бы сохранить оффлайн трудовую книжку и вести учет в ней.
Иначе, когда хранилище электронных трудовых книжек на*бнется (см. Росреестр, ceph, госуслуги и т.д.) - вам придется немного побегать по инстанциям)