Спряжение — это когда что-то сопрягается, соединяется с чем-то. Когда говоришь «писать» — это даже ещё не действие, это что-то такое абстрактное в вакууме. Поэтому это называется «неопределённая форма глагола». Чтобы это стало настоящим действием, обычно нужен кто-то, кто его делает: «я пишу», «ты пишешь», «она пишет». Вот то, как глагол адаптируется к своему подлежащему, и называется спряжением.
Изменение по родам и числам тоже до кучи входит в понятие спряжения, но у глагола бывает ещё и время. Глагол адаптируется ко всему этому: «он писал», «она писала», «я напишу», «мы напишем» — это всё разные формы. Во французском ещё и наклонение: je veux / je voudrais (я хочу / я хотел бы). Бывают разные другие категории в других языках, которые влияют на спряжение. В венгерском на спряжение глагола влияет определённость его прямого дополнения! В повелительном наклонении по-русски на форму глагола влияет только число: «дай / дайте», а в иврите — ещё и род. Поэтому когда на улице кто-то зовёт свою собаку, ты по форме глагола «иди сюда» (בוא/באוי) понимаешь, какого эта собака пола.
Спряжение есть и в русском, и в английском, и во французском, и в венгерском, и в иврите (это из тех, про которые я знаю).
Кстати, по-английски спряжение называется conjugation. Один из моих типовых запросов в гугле, связанных с языком — «какой-нибудь-глагол conjugate». Находит таблицу спряжений любого глагола на любом языке. Например «szeret conjugate» — и ты уже наслаждаешься венгерским.
А теперь проверочный вопрос: как называется изменение причастий? Типа, «пишущий». Спрягаются ли причастия?
Причастия иногда считают особой формой глагола, так что, наверное, да? Нет! Дело не в том, формой чего они являются, а в том, что с ними происходит. Если понимать, что такое спряжение, то очевидно, что причастия, конечно же, не спрягаются, но, в отличие от глаголов, отлично склоняются: «пишущий, пишущему, пишущего». Это же всё падежи: именительный, дательный, винительный. А вот «я пишущий», «ты пишущий» или «он пишущий» — не имеет никакого значения. Ну и, конечно, если поменять род, склонение поменяется: «она пишущая».