Key верный, может быть что надо в computed а не в методах?
Если верный, то можно и в методах, это как удобно. Если нужно фильтровать на определенный event, то оставить в методах, если нужно фильтровать всегда на изменение key - то проще вынести в computed.
Тогда странно, массив объявлен в data, а в методе идет this.arr = arr.filter(item => item !== key)? Тип данных какой у key? строка же?