$product = Product::where('id',$id)->first();

или

Это мы получили продукт. Как теперь получить его название?

$product =  Product::find($id);
       $product->title = $request->input('title');
       $product->slug = $request->input('slug');
       $product->text = $request->input('text');
       $product->keywords = $request->input('keywords');
       $product->description = $request->input('description');
       $product->published = $request->input('published');
       $product->category_id = $request->input('category_id');
       $product->price = $request->input('price');
       $product->authorized_price = $request->input('authorized_price');
       $product->short_description = $request->input('short_description');

$product->title = $request->input('title');

название

Что делает строка
$product->title = $request->input('title');
? откуда в ней берутся данные, и куда сохраняются?

она обрабатывает данные по value

$product =  Product::find($id);

Они берутся из объекта

$product =  Product::find($id);
       $product->title = $request->input('title');

Так.
Давай забудем про $product->title = $request->input('title'); :)
Если у нас есть $product, как во view вывести название продукта?

Мне один американец написал, что я возвращаю торы , а не товар. И я должен подтвердить айди

Ок, успехов.

и?
вроде бы должно отдавать значение поля из выбранных?

public function index()
   {
               return view('product.index', [
           'products' => Product::orderBy('created_at', 'desc')->paginate(10)
       ]);
   }
так передавал в вид при просмотре всех товаров

Нет.
find() возвращает модель, а если от модели вызовешь value(), то он дёрнет билдер из этой модели, а он пустой, т.к. условия перед вызовом метода не прописаны, и, тем самым, вернёт значение колонки первой записи в таблице.

Мы обсуждали страницу редактирования одного товара.
Нам здесь не нужен список всех товаров.
На этой странице в шаблоне где-то выводится название товара? Каким кодом?

а-а-а-а....
т.е. я пытался смешать 2 различных класса запроса :(