У нас в ФМШ начинался первый урок алгебры, а за окном мужики забивали сваю: бум-м! Учитель Борис Михайлович Беккер подошёл к окну и посмотрел на стройку:

-- Должен сказать: чтобы заниматься математикой, вам не нужно задаваться вопросом, поможет ли она быстрее построить вот этот дом напротив. Если же вас это беспокоит, то не исключено, что математика вам противопоказана. Да что ж они так грохочут-то...

С учителем я был согласен на все сто. Если математический объект логически красив, то вот вам уже и причина его исследовать -- а применение в народном хозяйстве дело пятнадцатое. Тем удивительнее было потом узнать, что еще в 19-м веке математики -- даже сам король Карл Гаусс -- считали иначе, полагая, что они должны решать практические задачи, а не забавляться абстракциями.

Эту историю я вспомнил, когда прочёл на днях статью (по ссылке) московских геометров Виктора Прасолова и Аркадия Скопенкова о том, почему неевклидова геометрия была принята научным сообществом не сразу. Одна из причин как раз состояла в том, что Гаусс, который пришел к идеям неевклидовой геометрии примерно в то же время, что и Лобачевский с Бойяи, стеснялся пиарить своё открытие, опасаясь критики коллег за абстракционизм.

Опасался он, конечно, напрасно. Рассуждение о том, что математик не должен задумываться о практической пользе своих занятий, со временем было дополнено еще и тем соображением, что никаких бесполезных абстракций мы на самом деле не изобретаем, а только открываем (если везёт) нечто уже существующее, только доселе неведомое -- и рано или поздно оно и так пригодится на практике. Что и случилось с неевклидовыми геометриями впоследствии

https://arxiv.org/pdf/1307.4902.pdf

Ещё один момент в статье Прасолова и Скопенкова из предыдущего поста, уже не очень серьёзный. На странице 5 у них упоминаются  фундаментальные области дробно-линейных преобразований комплексной переменной и даётся сноска: "Читатель, не знающий, что это такое, может пропустить этот абзац без ущерба для понимания
дальнейшего".

То есть, авторы вроде бы заботятся о читателе, чтобы он не бросил читать текст на непонятном месте, но звучит это как освобождение в автобусе места инвалиду со словами: "Садитесь, пожалуйста, ведь вы без ноги".

На то, что точные формулировки могут звучать нетактично, обращал внимание еще Джон Литлвуд в "Математической смеси" (по ссылке). Он привел пример, как один математик написал: "Часть 2, принадлежащая Харди и Литлвуду, тривиальна". На самом деле Харди и Литлвуд привели эту "Часть2" просто для полноты, но замечание выглядело так, будто они только и могут, что доказывать тривиальные утверждения. Обидно-с

https://www.e-reading.club/bookreader.php/1040882/Litlvud_-_Matematicheskaya_smes.html

Задачка из школьного учебника 1910 года -- неплохо дрессировали учеников, правда? Всю решать не предлагаю, разомнитесь на пункте 8 -- устно, разумеется

Есть немало примеров, когда сильный математик, занявшийся "не своей" тематикой, сталкивается с жесткой критикой профильных специалистов -- вспомним "Новую хронологию" Анатолия Фоменко или "Русофобию" Игоря Шафаревича. Но вот геометр Дмитрий Фукс, написавший статью "О стихотворных размерах", счастливо этого избежал. Никто не ругает)

Дело, вероятно, в том, что Фукс на протяжении всей статьи ни разу не позволил себе высказаться как литературовед и таким образом не поставил под угрозу хлеб литературоведов, их теории и концепции. Фукс исследовал стихотворные размеры как математик, он даже сформулировал какие-то теоремки и задачки.

А в итоге получилась статья о том, как устроены стихи. Которую стоит прочесть и просто любителям поэзии

http://kvant.mccme.ru/1988/02/o_stihotvornyh_razmerah.htm

В дешёвых учебниках математики вместо натуральных логарифмов используются логарифмы, идентичные натуральным
@obznam

Поздравляю женщин с праздником и хочу рассказать об одной замечательной представительнице прекрасного пола в математике — это Таня Хованова, исследователь из Массачусетского технологического и активистка программы "Женщины и математика" в Институте перспективных исследований в Принстоне. А родилась и училась она, разумеется, в Советском Союзе.

В середине 1970-х Таня блистала на международных олимпиадах (1975 серебро, 1976 золото), а тренировали команду перед соревнованиями при помощи так называемых "еврейских задач". Обычно тяжёлые задачи у нас называют "гробами", а в Штатах "киллерами", но тут была особая ситуация, от чего и пошло другое название.

При помощи "гробов" в те годы в МГУ на вступительных экзаменах специально заваливали евреев. Подкопаться к приёмной комиссии было невозможно — для решения и правда хватало школьного курса, но задачки были неподъёмными для школьников. Как говорил В.И. Ленин, "формально верно, а по сути издевательство". Чтобы представлять уровень, попробуйте решить одну из тех задачек: сколько цифр в десятичной записи числа 125 в 100-й степени? По воспоминаниям самой Тани Ховановой, сборная смогла решить только половину еврейских задач.

Сейчас Таня активно пропагандирует и популяризирует математику. С удовольствием представляю её сервис "Сплетни о числах" (по ссылке). Вводите число и получаете  полное досье: является ли оно простым, совершенным, счастливым или, допустим, числом Кармайкла. Благодаря этому сервису я, собственно, и вспомнил недавно о числах Кармайкла, когда за каким-то лешим искал свойства числа 561. Об этих прекрасных числах мы ещё отдельно поговорим.

А пока — всех женщин ещё раз с праздником
@obznam

http://numbergossip.com/

старый добрый анекдот к празднику

-- Ты кого больше любишь: меня или алгебру? -- спросила девушка-филолог у своего парня-математика.
-- Допустим, алгебру.
-- Ах, так! -- вспыхнула девушка и убежала, так и не узнав, что бойфренд начал рассказывать ей доказательство от противного
@obznam

Иллюстрация к тезису о простоте всего гениального. Вот есть очевидная формула суммы первых n нечетных чисел:

  1 + 3 + 5 + ... + (2*n - 1) = n^2

Но стоит на неё посмотреть немного пристальнее, как становится понятно, что с её помощью можно извлекать квадратные корни из целых чисел. Отнимаем единичку, потом тройку, и так далее, считая количество вычитаний, пока не дойдем до нуля — количество вычитаний и будет корнем.

Для практических вычислений, конечно, методика нуждается в модификации и расширении области применения (см. по ссылке), но главное же — идея
@obznam

http://hijos.ru/2012/04/25/krasivaya-modifikaciya-metoda-izvlecheniya-kvadratnogo-kornya/

Поговорим немножко, как собирались, о числах Кармайкла. Но сначала -- о поиске внеземных цивилизаций. Когда четыре года назад миллиардер Юрий Мильнер объявил о выдаче грантов на установление коммуникации с инопланетянами, я тоже задумался.

Худшее, что можно было бы сделать -- устроить профанское телевизионное шоу, в котором победила бы 11-летняя Дженнифер из штата Коннектикут. Она бы написала далеким братьям по разуму примерно следующее письмо: "Дорогие плывунцы с планеты Плюк! Пусть у вас две головы, три руки и четыре ноги -- мы всё равно хотим с вами дружить ради мира во всей Вселенной!" Закадровая массовка в этом месте закатилась бы аплодисментами.

Реально же это, конечно, полная ерунда. Ни на какой планете Плюк, Шелезяка или Татуин прочесть наше послание никто не сможет просто потому, что его невозможно дешифровать. Вы сначала доставьте на другую планету Розеттский камень или вроде того -- как ключ к дешифровке, а уже тогда мечтайте о межзвёздных письмах.

В такой ситуации максимум, что мы можем попытаться сделать -- это послать инопланетянам сигнал, который они бы однозначно распознали как искусственный. Но и тут возникают сложности, даже если не задумываться о физической природе этого сигнала.

Мы не можем посылать им просто одинаковые сигналы через равные промежутки времени. Физики однажды поймали такую передачу и уже думали, что это инопланетяне, но увы -- оказалось, что на какой-то звезде есть просто источник излучения, который мы "слышим", когда эта звезда поворачивает его в нашу сторону. Мы также не можем послать к звёздам число "пи" или "е" -- мы же не знаем, какая у плывунцов на Плюке система счисления.

Даже простые числа нехороши для передачи -- как выясняется, они встречаются в природе в виде продолжительности жизни так называемых периодических цикад. Встречаются в природе и числа Фибоначчи -- в соответствии с ними плодятся кролики. Может быть, конечно, в этом факте нет ничего страшного для коммуникации с плывунцами, а , может быть, и есть -- раз уж эти числа носят такой естественный характер.

Вот почему я и подумал в итоге о числах Кармайкла (561,1105, 1729...). Это-то уж точно придумано разумом! Числа, по своим свойствам очень похожие на простые, но таковыми не являющиеся -- это явно игра ума человеков. Ну а плывунцы, если они разумны, тоже должны их придумать. Поэтому когда они засекут сигнал, передающий числа Кармайкла (например, 561 короткий сигнальчик, потом пауза, затем 1105 коротких сигнальчиков etc.), они сразу поймут, что на связь с ними вышли разумные существа.

Только всё это тоже не даёт никакой гарантии. Мы ведь таким образом пытаемся найти цивилизацию, которая будет примерно такой же по развитию, как наша, через то время, которое потребуется сигналу на преодоление чудовищного расстояния -- это могут быть сотни и тысячи лет. Ответный сигнал, если его даже примут и квалифицируют как послание другой цивилизации, будет идти столько же. Наконец, почему мы решили, что у плывунцов хватит терпения досчитать даже до 561? Особенно если их ритм жизни сильно отличается от нашего -- а ведь он может быть в десятки раз быстрее или медленнее.

Короче говоря, облом по всем направлениям. Если только не считать, что числа Кармайкла (см. ссылку) -- красивая штука сама по себе
@obznam

https://math.dartmouth.edu/~carlp/carmsurvey.pdf

-- Эту историю я могу рассказать только узкому кругу.
-- Эллипсу?

@obznam

Поучительная устная задачка:

Бизнесмен едет на деловую встречу. Если он будет двигаться со скоростью 90 км/ч, то приедет на час раньше, а если 60 км/ч, то опоздает на час. С какой скоростью нужно ехать, чтобы прибыть точно в срок?

Ответ, конечно же, не 75 км/ч. Составив в уме простое уравнение, вы в этом быстро убедитесь. Но полезно еще и "идеологически" понимать, а почему так получается.

Очевидные пропорции бы работали, если бы бизнесмен ехал с одинаковой скоростью разное время, или в течение одинакового времени с разными скоростями. Но он в трёх случаях ехал разное время с разными скоростями. Поэтому простое усреднение и неверно
@obznam

Задачка взята из сборника Владислава Литвинова:
http://window.edu.ru/resource/900/80900/files/%D0%97%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F%20%D0%BA%D0%BD%D0%B8%D0%B3%D0%B0.pdf

Справедливо ли мы потешаемся над британскими учёными или это просто хохма ради хохмы? Некоторые основания имеются. Давайте вспомним, что говорил в своей Эйнштейновской лекции американский физик британского происхождения Фриман Дайсон, один из отцов квантовой электродинамики и просто отец Эстер Дайсон, известной в России IT-предпринимательницы. Лекция называлась "Птицы и лягушки" (см. ссылку)

«Одни математики — птицы, другие — лягушки, -- утверждает Дайсон, -- Птицы высоко летают и изучают высокие материи. Они наслаждаются концепциями, которые унифицируют наше мышление и объединяют проблемы из разных областей. Лягушки живут в болотах и видят цветы, которые растут рядом. Для них восторг вызывают детали конкретных объектов, они решают по одной проблеме за раз. Мне повезло родиться лягушкой, а многим моим друзьям — птицами».

И вот это разделение на птиц и лягушек 400 лет назад определило два основных пути развития науки.

«В начале XVII века, два великих философа, Фрэнсис Бэкон в Англии и Рене Декарт во Франции провозгласили начало современной науки. Декарт был птицей, а Бэкон — лягушкой. Каждый из них описал своё видение мира. Бэкон: „Всё сущее зависит от взгляда, который постепенно фиксирует факты природы“. Декарт: „Я мыслю, значит, я существую“».

Соответственно, по Бэкону, учёные должны бродить  по миру и собирать факты, пока они не покажут устройство природы: учёные выводят из фактов природные закономерности. По Декарту, учёные должны остаться дома и выводить законы природы силой своего разума.

«На протяжении 400 лет английские учёные следовали за Бэконом, а французские за Декартом, -- заключает Фриман Дайсон, -- Фарадей, Дарвин и Резерфорд были сторонниками Бэкона, лягушками; Паскаль, Лаплас и Пуанкаре — последователями Декарта, птицами».

Конечно, птицы встречались и в Англии -- взять хотя бы Стивена Хокинга. Но в целом-то мы теперь понимаем, почему британцы склонны изучать, как успехи футболистов зависят от цвета формы; почему в самолётах невкусная еда и облегчают ли ругательства физическую боль.
@obznam

http://www.ams.org/notices/200902/rtx090200212p.pdf

Сегодня 3.14 -- День числа "пи". Всех с праздником, и вот вам любимая мнемоника на 15 знаков числа:

How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics
@obznam

Раз уж праздник, то скажем пару слов о числе "пи". С тех самых пор, как я узнал про существование чисел "пи" и "е" -- с тех пор я ищу все новые подтверждения их тесной связи и взаимной зависимости, если так можно выразиться. По счастью, такая связь обнаруживается, что в общем-то свидетельствует о единстве Мироздания

Экспоненциальная функция, завязанная на число "е", равна своей производной. Синус, завязанный на "пи", так же практически равен своей производной -- ну просто со сдвигом аргумента, причем в долях того же "пи". Естественно, что такие похожие функции тесно связаны

График экспоненциальной функции обладает уникальным свойством -- тангенс угла наклона касательной к нему равен значению функции с этой точке. Ну а где тангенс, там, конечно же, и число "пи"

Венец творения в этом смысле -- формула Эйлера, которая связывает не только "е" и "пи", но также нуль, единицу и мнимую единицу. В этом месте строительство Мироздания можно в принципе считать завершенным.

Но кто объяснит, на каком, так сказать, идеологическом основании "е" и "пи" оказались перемноженными и внесенными под радикал в гениальной формуле Раманужана? (см. ссылку) Лично я пока не знаю. Если у вас есть соображения, пишите на blinov507@gmail.com

https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12e60766f7677cafceae24d14ad4b5410018ecb8

Тестировщик софта принимает пивной бар

заказывает 1 кружку пива
заказывает 2 кружки пива
заказывает 0 кружек пива
заказывает 999999999 кружек пива
заказывает -0,39 кружек пива
заказывает "1=1" кружек пива
заказывает ЙЦУКЕН кружек пива

все работает корректно -- бар одобряется и открывается

заходит первый посетитель и спрашивает, где тут туалет

Задачки, где нужно раскусить больше чем один подвох, иногда оказываются весьма непростыми для решения. Возможно, из-за того, что психологически ждёшь только одного подвоха и, раскусив его, расслабляешься. А потом мучаешься: как, ну как же я не догадался?

Показательна задачка -- совсем простая с виду -- про которую у нас ходили слухи, что на ней был завален не один абитуриент. Условие привожу ниже, а решение расскажу завтра. Забавно ещё, что у одного из её авторов профессора МГУ Александра Угольникова в данном случае говорящая фамилия:

Сколькими способами можно представить четырёхугольник в виде объединения двух треугольников?

@obznam

Ответ на задачку из вчерашнего поста виден на картинке выше: бесконечно много. Нужно взять невыпуклый 4-угольник (первый подвох) и учесть, что речь идёт именно об объединении треугольников, то есть они могут пересекаться (второй подвох).

Первой женщиной -- лауреатом Абелевской премии стала Карен Уленбек из Техасского университета в Остине.  Награда вручается «за пионерские работы в области геометрических методов для уравнений в частных производных, калибровочной теории и интегрируемых систем, за фундаментальное влияние на анализ, геометрию и матфизику» (см. ссылку).

Тут бы нам и порадоваться за госпожу Уленбек, как пять лет назад мы радовались за Мариам Мирзахани -- первую женщину, лауреата Филдсовской  медали.

Но вот что мы читаем дальше на сайте премии: Карен Уленбек является «сторонником гендерного равенства в науке и математике». Это само по себе хорошо. Но зачем это отмечать в тексте с обоснованием награды? Это что -- критерий для выбора лауреата? Только когда такие оговорки исчезнут, тогда и можно будет говорить о подлинном гендерном равенстве
@obznam

http://www.abelprize.no/nyheter/vis.html?tid=74161

На примере неевклидовой геометрии мы уже здесь затрагивали тему, что абстрактные теории математиков на самом деле не просто игра ума, а это открытия, которые со временем пригождаются на практике. А вот еще одна статья, раскрывающая ту же тему -- только уже на примере чисел -- вещественных, комплексных, кватернионов и октонионов. Все они были придуманы из головы, но потом пригодились для познания мира.

Любопытно, что один из соавторов статьи -- специалист по матфизике Джон Баэз, двоюродный брат популярной когда-то певицы Джоан Баэз, возлюбленной Стива Джобса и Боба Дилана. Что лишний раз подчеркивает, как тесен мир и как в нем все взаимосвязано
@obznam

http://modcos.com/articles.php?id=167