Классически, схемы рекурсии (ката-ана-морфизмы, пара-апа-морфизмы и хисто-футу-морфизмы, но это всё одно и то же, по сути) работают для обычных функторов, т.е., ковариантных по "рабочей" переменной.
Естественно, что вставал вопрос о том, что надо бы схемы рекурсии и так далее для смешанных функторов.
Первый за дело взялся Piter Freyd, сделал две работы —

Peter J. Freyd. Recursive types reduced to inductive types
Её я проглядывал, на тот момент, интересной сама концепция не показалась.

Peter J. Freyd. Algebraically complete categories.
Эту совсем не смотрел.

Но ценой того, что "начальное" от "терминального" в его теории не отличить.
Но может быть, это не такой уж и недостаток ;-)
Потом за дело взялся тов. Мендлер и изобрёл свои схему рекурсии.
О них, лучше всего почитать у Вармо Вене —
CATEGORICAL PROGRAMMING WITH INDUCTIVE AND COINDUCTIVE TYPES
VARMO VENE
https://kodu.ut.ee/~varmo/papers/thesis.pdf

#paper

#paper

До этого, тов. Хагино придумал свои диалгебры.
Концепция красивая, обобщает алгебры и коаглебры.
Диалгебра по Хагино, это стрелка вида F x → G x
https://ncatlab.org/nlab/show/dialgebra
Но оказалось, что свободное присоединение таких конструкций к категории, будет вырождать категорию. Т.е., все объекты становятся изоморфными.
Подробнее про это написано у самого Хагино.
В своей работе, он ограничил диалгебры.
И в итоге, всю красоту они потеряли, т.к., выразить такими можно стало только немногим больше, чем обычными начальными/терминальными алгебрами/коалгебрами.

Вот ещё там по ссылке —
https://ncatlab.org/nlab/show/algebra+for+a+profunctor

Спасибо

помню даже RS на профунторах было где-то

Ах ты ж... ;-)

еще есть овер дофига пдфкок

по этой теме

Не, меня это не настолько интересует ;-)

> Диалгебра по Хагино, это стрелка вида F x → G x
Кстати, Маартен Фоккинга работал над стрелками вида F a → G b: https://maartenfokkinga.github.io/utwente/mmf94c.pdf
Я их даже кодировал на TS, но практический смысл для меня оказался близким к нулю — разве что выражать монады и комонады через них:

type Monad<F> = Dyad<Identity, F>;
type Comonad<F> = Dyad<F, Identity>;

А вот примера использования чистых диад я так и не нашел. Может, кто-нибудь здесь с ними разбирался и смог применить в коде?

type Monad<F> = Dyad<Identity, F>;
type Comonad<F> = Dyad<F, Identity>;

Ага, известная фамилия.

type Monad<F> = Dyad<Identity, F>;
type Comonad<F> = Dyad<F, Identity>;

> примера использования чистых диад я так и не нашел
Так и никто не найдёт.
Свободное присоединение многих начальных-терминальных диалгебр часто вырождают категорию.
Потому подход и не зашёл.
Ну фиг знает, мож я тут неправ и это просто Хагино не смог догадаться.
В том же хаскеле, наверное, что-то можно выразить, и очевидно, ни к какому вырождению это не приведёт...

Я правильно понимаю что частично упорядоченное множество с нулем и единицей является категорией? А без нуля и единицы? (С несколькими последовательностями элементов.)

Любой ЧУМ категория, в котором ObC -- само множество, а Hom(a,b) состоит из одного элемента если a<=b, и пустое в ином случае. Композиция индуцируется очевидно

Не обязаиельно чум. Достаточно предпорядка (без  антисимметричности).

Кстати, аджоинты в чумах довольно интересные, даже название своё имеют - https://ncatlab.org/nlab/show/Galois+connection

что за ЧУМ? жилище чукчи? других ассоциаций (ну кроме чумы) у меня на это слово нету...