Так, получилось.
Я абсолютно не понимаю логики этого, но причина кроется в следующем - я поставил в качестве привязки у констрейнта не клемп, а Spring, как ты и сказал.
Однако ключевой деталью стало то, что я заменил Rigid Body на collider body. И почему-то все заработало.