ну в обратную сторону вроде совсем просто
если для двух различных точек x и y такое пересечение равно им самим, то найдутся замкнутая окрестность F_x и замкнутая окрестность F_y, которые не пересекаются, а значит и обычные окрестности найдутся по определению