Вот тут

если A и B различны, объединение A и B не пусто

Угу, и?

Наркомания которую мы заслужили

Ну это дебафит аксиому выбора

Правда недостаточно

Не вижу

В аксиоме выбора есть про не пусто

Чем больше пустых множеств тем сложнее её применять!

Декартово произведение непустых множеств непусто.

Как определить декартово произведение различных пустых множеств?)

Как предел дискретной диаграммы

А можно поподробнее?

Типа если есть множества A, B то декартово произведение это предел диаграммы, состоящей из этих множеств без стрелок. То есть такое множество C с двумя стрелками C to A, C to B с универсальным свойством

То есть если есть третье множество G с двумя такими стрелками, есть единственная стрелка G to C делающая диаграмму коммутативной

Максимально конструктивное определение

Между прочим есть очень забавное последствие того, что два равносоставленных множества могут быть различны
Когда мы попытаемся разбить последовательности N по отношению эквивалентности "конечное число элементов различно", у нас могут начаться сложности, если одновременно два различных натуральных числа могут быть равносоставлены и два одинаковых натуральных числа могут не быть равносоставлены - кажется, мы не сможем сформулировать нужный предикат для использования аксиомы выбора

Надо будет употребить веществ и подумать на эту тему

Это что-то вроде того, что аксиома выбора есть, но её запрещено использовать на базовом бесконечном множестве