Такшта, остаётся понять, что такое экстраестественное преобразование и дальше всё просто ;-)
Посмотрел (опять мельком, ну извините...), и на мой взгляд, правильно и хорошо объяснено тут —
https://ncatlab.org/nlab/show/extranatural+transformation
Нутам, чистаа категорную схему ещё вот тут показывают —
https://en.wikipedia.org/wiki/Extranatural_transformation
#link

Наверное, это единственная тема, про которую имею мнение, что в Маклейне не очень нарисовано —
тут придумали такой вид преобразований, который частный случай диестественных (или dinatural) у Маклейна, но конструкции имхо более правильные получаются —
There is also a yet more general notion of dinatural transformation.
However, there are few examples of dinatural transformations which are not extranatural.
Also, unlike extranatural transformations, dinatural transformations cannot be generalized to all enriched categories and do not admit a natural string diagram calculus.

Ещё, помнится, была статья от (наверное, его уже можно называть классиком) Tom'а нашего Leinster'а.
Называлась что-то типа "This is (co)end, my only (co)friend" (Doors типаа).
Чем-то она мне не понравилась, но совершенно не помню, чем.
Таки приведу ссылку —
https://arxiv.org/abs/1501.02503
Ага, обшибся, это не Лейнстер, но статья, вроде (?...), именно эта.
#link

Впрочем, я могу тут быть неправ.
В смысле, что определение диестественного (dinatural) преобразования может быть гораздо проще понять.
И соответственно, проще понять (ко)концы.
https://ncatlab.org/nlab/show/dinatural+transformation
#link

удобненько https://byorgey.wordpress.com/catsters-guide-2/

Добавлю ещё, что для того, чтоб начинать изучать эти вещи, абсолютно необходимо быть "на ты" с категориями функторов.
В частности, понимать, как там устроены (ко)пределы и экспоненты.
Ну и если действительно хорошо понимаешь категории функторов, то уже довольно легко объяснить пучки и топосы.
И уже после пучков, всякие там схемы (топосы для них не обязательны) и так далее.
Ну а топосы, это даже и просто сама по себе, тема весьма любопытная.

recursion schemes?

Для понимания схем рекурсии (ну по крайней мере, если за них принимать, чо тов. Varmo Vene пишет), как раз, категории функторов понимать особенно и не нужно.

нубский вопрос, категория функторов, это категория в которой морфизмы функторы?

а где про категорию функторов?

объекты

а что в ней тогда морфизмы?

естественные преобразования

спасибо, понятно
до них пока не дошёл
читал про Cat где морфизмы функторы, подумал может это она так называется

Где хорошенько описана категория функторов с пределами и так далее?
Чотта уже и не вспомню с ходу хорошего источника...
Ну Маклейна тут всё равно никто чиать не будет ;-)
Правда, я и не помню, как именно эта тема у него описана.

грубо говоря, то же самое ещё раз

только с двумя фиксироваными категориямм

Ну уж совсем не то же самое.
Стрелки-то совсем другие, абсолютно.

получается, брякнул, не подумав