я правильно понимаю, что если мы хотим как-то работать с функтором, то нужно работать в Cat категории?
Если мы хотим работать с функторами как со стрелками какой-то категории, то да.
Но так "забываешь" информацию об объектах изначальных категорий. Функтор из C в D это стрелка в категории кат