286. В треугольнике АВС: АВ=ВС=1, ∠ABC=15°. На сторонах АВ и ВС отмечены точки D и Е соответсвенно. Найдите наименьшее значение длины ломаной AED.

Let in triangle ABC: АВ=ВС=1, ∠ABC=15°. Points D and E are on the sides AB and BC respectively. Find the shortest length of the broken line AED.

#задача

​​Пару лет назад Михаил Патракеев придумал удивительное разрезание правильного треугольника на 5 равных частей. Части равны не только по площади: если считать, что каждая из частей напечатана на своем прозрачном листе, то любые два листа можно совместить так, чтобы части совпали.

Есть разрезания правильного треугольника на n², 2n², 3n², 6n², 5n², 10n² равных частей. И больше никаких продвижений: никто не может ни разрезать на какое-то еще число частей, ни доказать, что это невозможно. Можно ли разрезать правильный треугольник на 5 равных связных частей, тоже никто не знает.

Челлендж показывает, что мало кто решает задачи: из двух тысяч подписчиков решают человек 30. Это нормально. Разбирать готовые решения тоже полезно, вы вникаете в детали, сосредотачиваетесь на непонятном и постепенно учитесь решать самостоятельно.

У меня к вам вопрос. Что лучше: челлендж, в котором вы вводите ответы, а я решений не разбираю, или прежний формат, когда были задачи и их решения? Сейчас сделаю опрос, а если ваше мнение не вписывается в предложенные варианты, напишите его в @geometrychat

Что лучше: задачи, где читатели вводят ответы сами или прежний формат, когда я публикую решения?
anonymous poll

Когда публиковали решения, было лучше. – 84
👍👍👍👍👍👍👍 76%

Когда сам решаешь и пишешь ответ, лучше. Хоть кто-то проверяет твое решение. – 26
👍👍 24%

👥 110 people voted so far.

Так, я поняла. План такой: добиваю челендж (две задачи остались), подвожу итоги, рассказываю ответы, раздаю призы. А пока я это делаю, постепенно возвращаюсь к старому формату, и начинаю публиковать задачки и их решения еще до конца челенджа.

Эту задачу я посвящаю Школе редакторов. У них там есть вопрос: сколько раз можно согнуть вдвое лист, чтобы пропорции листа не изменились? Пропорции листа даны и есть множественный выбор ответов.

Эту задачу я решала когда-то в школе на окружной олимпиаде.

287. Лист сложили пополам параллельно короткой стороне. Получили лист с той же пропорцией сторон. Найдите пропорцию сторон листа.

The sheet was folded in half parallel to the short side. New sheet has the same proportion of the sides. Find the proportion of the sides of the sheet.

#задача

​​Пространственное воображение

Мой коллега Леша Сгибнев рассказал вчера об интересной игре, которую он взял с семинара Александра Кирилловича Ковальджи.

На доске нарисован рисунок, минуту все смотрят, потом доску закрываем, надо нарисовать.

Рисуем плоские картинки — тренируем память, рисуем пространственные фигуры — тренируем пространственное воображение.

Все сразу видят куб, из которого вынули кубик в углу. Попробуйте-ка нарисовать по памяти. У меня с первой попытки не получилось.

288. Радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, равен 1. Может ли площадь треугольника быть равна 6?

Radius of the inscribed circle for the isosceles triangle equals 1. Could its area equal 6?

#задача

Решение задачи 288.

#решение

289. Докажите, что инцентр I треугольника, эксцентр I1 (центр вневписанной окружности, касающейся стороны ВС), а также точки B и C лежат на одной окружности.

Prove that an incenter of triangle, an excenter and points B and C lie on one and the same circle.

#задача

Решение задачи 289.

#решение

290. Докажите, инцентр треугольника является ортоцентром его вневписанного треугольника.

Вневписанный треугольник — треугольник, вершины которого являются центрами вневписанных окружностей данного треугольника.

Prove that the incenter is the orthocenter of excribed triangle. (Excribed triangle is the one that has the vertices at the centers of the exscribed circles.)

#задача

http://www.etudes.ru/ru/models/educated-monkey/

На сайте «Математические этюды» появилась новая модель, «Ученая обезьянка» (и в связи с ней разговор про математику шарнирных механизмов).

Решите задачу с сегодняшнего Матпраздника.

Решение задачи 290.

#решение

291. Прямоугольная трапеция делится диагональю на два треугольника: равносторонний со стороной a и прямоугольный. Определить среднюю линию трапеции.

A diagonal of a right trapezoid cuts it into an equilateral triangle with side a and right one. Find this traezoid's midsegment.

#задача

А вот одно из решений. Внутри у этой фигуры дырка. Можно ли придумать решение в виде настоящего многоугольника (без дырок) — непонятно.

Решение задачи 291.

#решение

292. (Теорема о бабочке) Пусть Р — середина хорды АВ некоторой окружности. CD и FE — хорды этой окружности, проходящие через точку Р. Отрезки CF и ED пересекают AB в точках M и N соответственно. Докажите, что MP=NP.

(Butterfly Problem) Let P be a midpoint of a chord AB in some circle. Let also CD and CF be the chords through P. Segments CF and ED intersect AB at M and N respectfully. Prove that MP=NP.

#задача

Решение задачи 292.

#решение