скорее (g, h) - морфизм из i в j

Ну так там и получается, что i -- пара (X,A), j -- пара (Y,B), а f -- морфизм из (X,A) в (Y,B)

новочковый вопрос
есть монада Maybe a
монада так же является и моноидом
что данной монады является unit, а что является multiplication ?

join по-хашкельному произведение
return - единица

монадой является не Maybe a, Maybe
он есть эндофунктор Maybe :: Type -> Type
единица у нас тут return :: a -> Maybe a или return :: Id ~> Maybe
операцией join :: Maybe (Maybe a) -> Maybe a или join :: Maybe . Maybe ~> Maybe
a ~> b = forall x. a x -> b x

окей
допустим мы определили единицу - это ф-я return
я не понял что помогает прояснить в этом вопросе определение ф-и join

а что насчет multiplication? как будет определена эта операция для монады? это как раз второй кусочек для монойда

в чем моя проблема - из определения следует что любая монада - это обязательно и моноид. Но что является единцей и произведением для конкретной монады мне не понятно - это свое непонимание в определениях я и хочу прояснить.

единица и операция выбирается с учетом данных, с которыма работаешь

например для операции Сложение единица - это 0 (Ноль), т.к. при сложении чиса и нуля вернется число

при операции Умножение, единица - 1 (единица), число умножем на единицу равно число

для списка операция - Конкатинация двух списков (объединение), единица - пустой список, т.к. пустой список объед. со списком будет исходный список

глянь книжку http://learnyouahaskell.com , там очень подробно эти моменты рабираются, есть и на русском

я бы вот как раз хотел без хаскеля - и именно про ТК поговорить

да, моноид

Maybe - монада, и моноид

не Maybe a

в ТК - такая запись имеет смысл Maybe Int ? или это только хаскельное будет?

ты не понимаешь, когда мы говорим, что Maybe - моноид, мы говорим не про категорию типов, а про категорию эндофункторов, у нас моноид не на значениях, а на типах

если я пишу Maybe Int - я могу с этим работать не определяя моноид - т.е. без уточнения единицы и произведения - я это вижу как нарушение определения 'монада - это специфический моноид.'

Я это нарушение отношу к реализации на хаскеле - и поэтому хочу отложить в сторону и понять определение из КТ без программирования и конкретных инженерных реализаций

есть категория X с объектами { A, B, C }
есть эндофункторы на этой категории: 1, F : X -> X
1 переводит каждый объект и морфизм категории X в себя же
F пусть делает что-то другое, но на выходе тоже объект и морфизм из X

и вот эти функторы 1, F тоже образуют категорию, где объекты - { 1, F }, а морфизмы - естественные преобразрвания между функторами

и вот тройка из {F, alpha : 1 -> F, beta : F . F -> F} будет моноидом, alpha - единица, композиция с beta - умножение

под alpha подходит pure, так как если перевести естественое преобразование в морфизм, получится forall x. 1 x -> F x, где 1 x = x, то есть alpha :: x -> F x

под бету подходит join, потому что F . F -> F = forall x. F (F x) -> F x