Я подозреваю, что он может быть, причем такой же как и в CTT, но точно не уверен.

Я разобрался, зачем в определении вещей типа коммутативности или ассоциативности условие натуральности - это вычислительное свойство. Когда мы говорим, что прямое произведение множеств ассоциативно, мы имеем в виду не только то, что соответствующие произведения изоморфны (биективны, раз речь про множества), но и то, что эти изоморфизмы отсылают пары (a, (b, c)) и ((a, b), c) именно друг в друга, а не абы куда. Изоморфизмов много, но интересны именно эти, из-за их вычислительного смысла. Естественный изоморфизм - это, интуитивно, взаимно-однозначная переупаковка элементов каких-то множеств, меняющая структуру, но сохраняющяя содержание.

> что эти изоморфизмы отсылают пары (a, (b, c)) и ((a, b), c) именно друг в друга, а не абы куда.
Ниасилил. Куда ещё изоморфизм x ~ y может отсылать, кроме как не x→y или наоборот? У него домен-кодомен такие...
А то, что не просто биективно, это гарантируется тем, что это морфизм в нашей категории, а не просто в Set, под ней лежащей.

> Естественный изоморфизм
Наш вот этот тип произведения — функтор.
Со своим fmap, если по-программистски.
И говорим мы про изоморфизм _функторов_, а не объектов категории.
И понятно, какие свойства при этом сохраняются.

> из-за их вычислительного смысла
В общем, да.
В том, что морфизм именно функторов, вычислительный смысл есть.
Произведение образов стрелок Fx;Fy какбе отображается в произведение образов стрелок Gx;Gy.
"Какбе" потому, что естественное отображение никакие стрелки не отображает.

a, b, c - это элементы множеств. Тройке (a, (b, c)) можно сопоставить тройку ((d, e), f) и обратно, тогда тоже будет изоморфизм, но не тот.

Ну типа, биекция-ассоциатор - это функция, которая берет одним образом упакованную тройку элементов, а возвращает другим образом упакованную тройку тех же самых элементов, а не каких-то ещё

Если опустить свойство натуральности, то будет много разных ассоциаторов, которые непонятно что куда пересылают

a,b,c — объекты категории!!
И сопоставление может быть уже очень не любое.
Например, в (моноидальной) категории векторных пространств или модулей, это отображение уже только линейное и больше никак.

У них (a,b,c) даже может и не быть элементов в обычном понимании.

Да почему. Объекты категории (в моём примере) - это множества A, B, C. Ассоциатор - стрелка из (A, (B, C)) в ((A, B), C). a, d - элементы A; b, e - элементы B; c, f - элементы С.

Ну причём тут вообще множества и элементы?
Определение чисто категорное, никаких множеств тут не нужно.

Нуу, хорошо...
Но зачем такой тривиальный пример моноидальной категории?
Называется декартова моноидальная категория.

Я привёл пример со множествами, потому что у стрелок между ними вычислительный смысл ясный

Ну хорошо, приблизительно понятно.

Речь-то не про моноидальные категории, а только про ассоциативность. Зря я вообще про них разговор завёл.

Я думал, это к прошлому вопросу...

А где требование естественности в коммутативности или ассоциативности?

В разных определениях из ТК часто представляют такие свойства именно естественными преобразованиями.

Например, определение моноида или группы в декартовой категории формулируется простыми диаграммами.