Смотря что хочется ;-)
Минимум, это описать 1-категорию и равенство стрелок внутри неё.
Я ещё хотел тип, который может описать такие вот категории. Ну, типа "levitation".

В ТК часто о свойствах операций говорят как о естественных изоморфизмах (ассоциатор, коммутатор и подобное). Зачем требовать естественности? Просто изоморфизма недостаточно, или эта естественность не является существенным требованием?

"Естественный" изоморфизм — это естественное преобразование.

Ну хорошо, можно говорить про изоморфизм функторов.

Принято говорить про естественные преобразования.
Ну и тем более, что очень не всегда они дожны быть изоморфизмом.

Меня в таком определении ассоциативности или коммутативности всё устраивает, кроме самого условия естественности (преобразование после функтора = функтор после преобразования). Без него же всё равно изоморфизм между объектами остаётся. У меня просто есть подозрение, что естественность не существенна, т. е. трудно придумать такую хитрую категорию с бифунктором, чтобы "ассоциаторы" или "коммутаторы" не были естественными

Я понимаю, что вопрос странный, но просто, может, в какой-нибудь книжке про это есть абзац, или вроде того.

Во-первых, придумтаь можно.
Во-вторых, ну по смыслу это правильно! Мы преобразовываем функторы!
Наверное, проще будет на каком-то конкретном примере.

Ну это философский вопрос в какой-то степени... Можно конкретно рассмотреть моноидальные категории. Там в определении требуется ассоциативность, и она "кодируется" как естественный изоморфизм. Что будет, если ослабить это условие и требовать только чтобы для любой тройки объектов A, B, C имел место изоморфизм (A * (B * C)) <-> ((A * B) * C)? Найти бы пример какого-нибудь утверждения о моноидальных категориях, которое сломается для таких вот недо-моноидальных.

Это ровно такой же философский вопрос, как то, что зачем нам говорить про категорию, когда мы можем про конкретную сущность сказать, что там вот так-то ассоциативно.

Пример утверждения — нуу так функторы-то стрелки преобразуют, главным образом.
Соответственно, у нас сразу нет функтора произведения.
И всех утвердений, которые хоть как-то затрагивают его, тоже нет.

Не понял. Функтор произведения же остался. Просто вместо ассоциативности более слабое свойство

Более того, пентагон там должен выполняться.
Просто изоморфизм не канает, есть контрпримеры.

Ну, надо начать с того, чтоб переформулировать пентагонную диаграмму.
Без функториальности, надо уже по-другому.

Ну там просто будут обычные стрелки вместо компонент естественного преобразования

А, ну да. Функториальность-то остаётся.

В общем, ломается. Например, coherency-теорему (про эквивалентность строгих и нестрогих моноидальных категорий) не доказать никак.

В смысле, если в определении строгих и нестрогих моноидальных категорий убрать естественность ассоциаторов, то они уже не будут эквивалентны?

Ну да. Да и как-то всё урезанно становится уж слишком...

Вот, это мне и интересно, что именно урезается