категории бывают самые разные, морфизмы могут быть чем угодно
Возможно я ошибаюсь, но умозрительно кажется, что для любой категории можно построить теоретико-множественную модель (с точностью до потребности взять более сильную теорию множеств), в которой объекты будут множествами, морфизмы означать отображения на этих множествам, так чтобы композиции сохранялись