Многие вещи действительно являются частными случаями категорий

Ну надо не путаться

Это как раз не должно путать, это то, почему теоркат применим

Почему?)

Потому что многие вещи являются категориями и мя можем применить к ним всё, что знаем о категориях

На самом деле, конечно, не бывает категории всех категорий. Бывает только категория достаточно малых категорий

Достаточно большая категория достаточно малых категорий

Я, кстати, не видел у Маклейна ответа на вопрос, поч нельзя. Просто пишет, мол, категории всех категорий неть. А в чем проблема строить иерархии какие-нибудь, как в теории типов Рассела

Нету, потому что категории Маклейн определяет внутри NGB, категория это пара классов с определенными свойствами.

Не существует класса всех классов, поэтому и категории всех категорий тоже нет

Я сторонник иерархии универсумов гротендика, там как раз иерархии получаются

Для начала о размерах думать вообще не обязательно.
Можно пока считать, что есть множество объектов и есть функция, которая принисает два объекта и возвращает множество морфизмов.
Есть функция, принимающая объект, и возвращающая элемент из множества морфизмов из объекта в него же.
Есть функция, которая принимает три объекта, элемент множества морфизмов из первого во второй, из второго в третий и возвращающая элемент множества морфизмов их первого в третий.

А ещё ассоциатиность, левая и правая единицы, язык сломаю их формулировать, думаю, при ерно понятны.
Они формулируемы, потому что каждое множество морфизмов - множество, и мы можем рассуждать о равенстве элементов в нём

Как видишь, слово "функция" я использовал, чтобы подчеркнуть индексы для элементов опредедения

Сами множества морфизмов не обязательно состоят из функций, но @elemir90 полагает, что это легко поправить

Надо записать и как то структурировать

Всё уже записано и структурировано, надо просто открыть книжку, или статью какую-нибудь, а не по чатикам шарить

Всё, в общем-то записано давно и структурировано, просто надо хаскель из головы немного выкинуть, чтобы непредвзято воспримать общность

А я кидал доказательство, что если забить на размер, то любая категория конкретизируема, то есть вкладывается фейлфулл в сет

Я читал книгу бартошика

В таких вопросах вообще никогда не вредно перечитать одно и то же много много раз

Но я сам не сторонник забить нагло на размеры :)