Всё просто. Т.к. в хаскеле всё происходит во "внутреннем языке", то и монады получаются во внутреннем смысле. В категориальных терминах это можно сформулировать следующим образом. Для простоты обсудим функторы вместо монад. Пусть C — моноидально замкнутая категория, и F : Ob(C) -> Ob(C). Тогда структура обычного (эндо)функтора на F — это функции F_{X,Y} : Hom(X,Y) -> Hom(F(X),F(Y)), удовлетворяющие известным свойствам. А структура "внутреннего (эндо)функтора" на F — это морфизмы F_{X,Y} : Y^X -> F(Y)^{F(X)} в категории C, удовлетворяющие аналогичным свойствам.

а почему Y^X?

Ну это внутренний hom, т.е. тип функций.

ага типа X -> Y?

Ага

Ну что такое internal category я понимаю и без хаскеля :) Но как это связано с weak/strong не понимаю, мне казалось, что это больше про энричмент

Функтор в хаскелле — это не просто функция F_{X,Y} : Hom(X,Y) -> Hom(F(X),F(Y)), а что-то более сильное, конкретно морфизм F_{X,Y} : Y^X -> F(Y)^{F(X)}. Эта доп. структура в точности эквивалентна силе на F.

Здесь про это рассказывается https://ncatlab.org/nlab/show/tensorial+strength

слабые-сильгные моноидальные категории (или n-категории), это другое

А зачем отделять Hom(A,B) и A->B?

Потому что это сущности разных видов. Первое — это множество, а второе — объект в нашей категории.

А, под Hom обычно понимают Hom-object в замкнутой категории просто

А как тогда обычно обозначаются Hom-множества?

Как раз f: A \in B

Это нотация, а как само множество обозначается? A -> B?

Hom(A,B)

Либо hom маленьким, либо C(a, b)

Такая нотация удобна тем, что её можно абузить и обозначать любой хом, а не только HomSet. Это пригодится в enriched categories

Вот это ещё более красиво, кэтстеры так обозначают вроде

Splice: f · f -> Day f f 

вот примерный набросок https://gist.github.com/Odomontois/0155c672372acf6d05ce112c8d8430f6