DK
Приветствую всех. Я правильно понимаю, что в категории стрелка у которой dom = codom не обязательно единица?
Size: a a a
2020 April 11
к
нет
к
например в категории Set для функции
inc : Nat -> Nat
inc(x) = x + 1
будет стрелка из Nat в Nat
но при этом она совсем не единичная, для некоторой функции
f : X -> Nat
inc . f != f
потому что
forall x, inc(f(x)) != f(x)
inc : Nat -> Nat
inc(x) = x + 1
будет стрелка из Nat в Nat
но при этом она совсем не единичная, для некоторой функции
f : X -> Nat
inc . f != f
потому что
forall x, inc(f(x)) != f(x)
G
Приветствую всех. Я правильно понимаю, что в категории стрелка у которой dom = codom не обязательно единица?
Если dom = cod, то это эндоморфизм. Не каждый эндоморфизм - единичный морфизм
A
Не каждый эндоморфизм даже автоморфизм
DK
Получается, что хоть тк и оперирует объектами и стрелками, для того чтобы понять что это за морфизм нужно заглянуть "внутрь" структуры объекта
A
Нет, для того, чтобы отличить id и не id, достаточно знания композиций
A
Упражнение: у одного объекта не может быть двух единичных морфизмов
к
Получается, что хоть тк и оперирует объектами и стрелками, для того чтобы понять что это за морфизм нужно заглянуть "внутрь" структуры объекта
нет, эта информация появляется в категории во время ее построения
мы знаем что вот эта стрелка это id, мы знаем что вот та стрелка это другая стрелка, значит она не id
мы знаем что вот эта стрелка это id, мы знаем что вот та стрелка это другая стрелка, значит она не id
G
Получается, что хоть тк и оперирует объектами и стрелками, для того чтобы понять что это за морфизм нужно заглянуть "внутрь" структуры объекта
Для того, чтобы доказать свойства морфизма, например, если это функция, то можно это доказать, исходя из её определения
A
нет, эта информация появляется в категории во время ее построения
мы знаем что вот эта стрелка это id, мы знаем что вот та стрелка это другая стрелка, значит она не id
мы знаем что вот эта стрелка это id, мы знаем что вот та стрелка это другая стрелка, значит она не id
Дело в том, что если определить id как единицу по умножению (композиции), то он всё равно как максимум один существует
к
Дело в том, что если определить id как единицу по умножению (композиции), то он всё равно как максимум один существует
на основе единственности единицы мое утверждение и построено
G
Для того, чтобы доказать свойства морфизма, например, если это функция, то можно это доказать, исходя из её определения
А можно и без определения, зависит от ситуации
A
на основе единственности единицы мое утверждение и построено
Вы говорите, что единица выделена в определении и потому единственная. А я про то, что любой морфизм, дающий в композиции со всеми остальными (с согласованными доменами и кодоменами) их самих, равен соответствующему id
DK
Если мы определяем категорию из одного объекта - множества рациональных чисел и никак не детализируем стрелки, то получается что такая стрелка одна - единица.
G
Если мы определяем категорию из одного объекта - множества рациональных чисел и никак не детализируем стрелки, то получается что такая стрелка одна - единица.
Да, бывают и категории с одной стрелкой
DK
Чтобы стрелок стало "больше" - мы должны детализировать их. В моем примере должны сказать, что стрелки это например сложение с числом
G
Кстати, а с 0 стрелками (и 0 объектами) бывают?
DK
Имхо, нет
G
Да вроде определение не запрещает такого