Size: a a a

Теория категорий

2020 April 11

DK

Denis Kostousov in Теория категорий
Приветствую всех. Я правильно понимаю, что в категории стрелка у которой dom = codom не обязательно единица?
источник

к

кана in Теория категорий
нет
источник

к

кана in Теория категорий
например в категории Set для функции

inc : Nat -> Nat
inc(x) = x + 1

будет стрелка из Nat в Nat

но при этом она совсем не единичная, для некоторой функции

f : X -> Nat
inc . f != f

потому что

forall x, inc(f(x)) != f(x)
источник

G

Gymmasssorla in Теория категорий
Denis Kostousov
Приветствую всех. Я правильно понимаю, что в категории стрелка у которой dom = codom не обязательно единица?
Если dom = cod, то это эндоморфизм. Не каждый эндоморфизм - единичный морфизм
источник

A

Andrey in Теория категорий
Не каждый эндоморфизм даже автоморфизм
источник

DK

Denis Kostousov in Теория категорий
Получается, что хоть тк и оперирует объектами и стрелками, для того чтобы понять что это за морфизм нужно заглянуть "внутрь" структуры объекта
источник

A

Andrey in Теория категорий
Нет, для того, чтобы отличить id и не id, достаточно знания композиций
источник

A

Andrey in Теория категорий
Упражнение: у одного объекта не может быть двух единичных морфизмов
источник

к

кана in Теория категорий
Denis Kostousov
Получается, что хоть тк и оперирует объектами и стрелками, для того чтобы понять что это за морфизм нужно заглянуть "внутрь" структуры объекта
нет, эта информация появляется в категории во время ее построения

мы знаем что вот эта стрелка это id, мы знаем что вот та стрелка это другая стрелка, значит она не id
источник

G

Gymmasssorla in Теория категорий
Denis Kostousov
Получается, что хоть тк и оперирует объектами и стрелками, для того чтобы понять что это за морфизм нужно заглянуть "внутрь" структуры объекта
Для того, чтобы доказать свойства морфизма, например, если это функция, то можно это доказать, исходя из её определения
источник

A

Andrey in Теория категорий
кана
нет, эта информация появляется в категории во время ее построения

мы знаем что вот эта стрелка это id, мы знаем что вот та стрелка это другая стрелка, значит она не id
Дело в том, что если определить id как единицу по умножению (композиции), то он всё равно как максимум один существует
источник

к

кана in Теория категорий
Andrey
Дело в том, что если определить id как единицу по умножению (композиции), то он всё равно как максимум один существует
на основе единственности единицы мое утверждение и построено
источник

G

Gymmasssorla in Теория категорий
Gymmasssorla
Для того, чтобы доказать свойства морфизма, например, если это функция, то можно это доказать, исходя из её определения
А можно и без определения, зависит от ситуации
источник

A

Andrey in Теория категорий
кана
на основе единственности единицы мое утверждение и построено
Вы говорите, что единица выделена в определении и потому единственная. А я про то, что любой морфизм, дающий в композиции со всеми остальными (с согласованными доменами и кодоменами) их самих, равен соответствующему id
источник

DK

Denis Kostousov in Теория категорий
Если мы определяем категорию из одного объекта - множества рациональных чисел и никак не детализируем стрелки, то получается что такая стрелка одна - единица.
источник

G

Gymmasssorla in Теория категорий
Denis Kostousov
Если мы определяем категорию из одного объекта - множества рациональных чисел и никак не детализируем стрелки, то получается что такая стрелка одна - единица.
Да, бывают и категории с одной стрелкой
источник

DK

Denis Kostousov in Теория категорий
Чтобы стрелок стало "больше" - мы должны детализировать их. В моем примере должны сказать, что стрелки это например сложение с числом
источник

G

Gymmasssorla in Теория категорий
Кстати, а с 0 стрелками (и 0 объектами) бывают?
источник

DK

Denis Kostousov in Теория категорий
Имхо, нет
источник

G

Gymmasssorla in Теория категорий
Да вроде определение не запрещает такого
источник