категория 0, единственная

Very nice profile picture.

инициальный объект в категории локально малых категорий

Мне было не ясно, что при "разработке" конкретной категории мы можем заглядывать в структуру самих обьектов

👍

Можем заглядывать, можем и не заглядывать)

Те "абстракции текут"

Пример 1.11. Любая малая категория K с единственным объектом (обозначим его A) задаёт некоторую полугруппу с единицей. Элементами этой полугруппы будут стрелки категории (то есть, множество M–это Mor(K)). Любая стрелка f ∈ K(A,A), поэтому существует композиция любых двух стрелок, операция композиции ассоциативна и существует двусторонняя единица idA. Обратно, любую полугруппу с единицей можно превратить в малую категорию с единственным объектом (надо выбрать произвольный объект A и положить dom(f) = cod(f) = A для всех элементов полугруппы).

В категории Hask (категория типов и функций из Haskell) специально заглянули во внутреннюю структуру, т.к. тип - это всё-таки не произвольный объект в математике

хорошо, вот мы сделали кольцо целых чисел, где сложение и умнжение это сложение и умножение целых чисел

складывая элементы в этом колце, мы смотрим на определение сложения целых чисел

это абстракция кольца течет?

Это пример из учебника с динозаврами. Первая часть примера мне понятна.

Вторая - нет.

Как построить из множества рациональных чисел со сложением категорию с единственным элементом "42"?

объект - 42
морфизм - единичный морфизм из 42 в 42

подходит под условие

я думаю лучше всего вводит категории Голдблатт в "Топосы, категорный анализ логики"

послее введения категорий в ней и примеров становится прекрасно понятен этот момент

Нет, мы изначально оперируем внути кольца с его элементами. А когда говорим что единственный объект - это некое множество, то мы можем при определённии стрелок заглянуть внутрь объекта. А можем не заглядывать.

Когда заглядываем - лезем внутрь абстракции "объект".

нет, не оперируем, у нас просто множество и какие-то функции сложения и умножения, которые мы собираем в структуру кольца (а можем и не собирать)

с категорией то же самое