Держите простую задачку, а Дима вечером запостит сложную:
29. На сторонах угла ABC отмечены точки М и K так, что углы BMC и BKA равны, BM = BK, AB = 15, BK = 8, CM = 9. Найдите периметр треугольника СOK, где O — точка пересечения прямых AK и СМ.

30. Еженедельный гроб #2:
Дан треугольник ABC. M, N — пересечения биссектрис со сторонами. I — центр вписанной окружности. P, Q — пересечение MN с описанной окружностью треугольника ABC (ω). Доказать, что радиус окружности, описаной вокруг PIQ, равен 2r, где r — радиус ω.

Решение задачи 29:
У треугольников ABK и CBM общий угол В, поэтому эти треугольники равны по стороне и прилежащим углам. Тогда ∠BCM = ∠BAK и CB = AB = 15, значит, CK = AM = 7.

Учитывая, что ∠CKO = ∠AMO (они дополняют равные углы до развернутых), получим, что ΔCOK = ΔAOM (по стороне и прилежащим углам). Следовательно, OK = OM. Таким образом, PΔCOK = CK + CO + OK = CK + CO + OM = CK + CM = 16.

Hello, world! Ближайшую неделю на канале с Вами буду я, Константин Кноп

31. Боковая сторона BC трапеции ABCD равна сумме оснований. Докажите, что биссектрисы углов B и C пересекаются на стороне AD.

Решение задачи 31. Соединим середины боковых сторон — E и F. Так как EF = (AB+CD)/2 = BC/2 = BF =FC, то F — центр окружности, описанной около BEC. Так как центр описанной окружности лежит на середине стороны, то треугольник BEC прямоугольный. Из равнобедренности EFB получаем, что EB — биссектриса угла B, аналогично EC — биссектриса угла C. Мы доказали, что биссектрисы пересеклись в середине стороны AD трапеции.

Многие заметили, что вчерашняя задача 31 допускала очень разные решения, в том числе и аналитические. В ещё большей степени это относится к сегодняшней задаче. Если будете решать — постарайтесь найти как можно больше идейно различных решений.
32. На сторонах AC и BC треугольника ABC во внешнюю сторону построены квадраты ACDE и BCFG. Докажите, что середина отрезка EG не зависит от положения точки C.

Решение задачи 32.
http://blog.kknop.com/2017/02/blog-post.html
(место нестандартное, если у кого-то плохо отображается — пишите. буду думать, как это поправить)

Сегодня день рождения Сергея Валерьевича Маркелова — замечательного автора многих красивых геометрических задач. Вот одна из моих любимых.
33. Треугольник разбили на 5 подобных ему треугольников. Верно ли, что все они прямоугольные?

На картинке — контрпример: треугольник с углами 30-30-120 разрезан на пять подобных себе.

(Задача Московской устной олимпиады по геометрии 2007 г.)

Сегодняшняя задача — из комбинаторной геометрии.
33. Как тремя единичными квадратами полностью покрыть [возможно, с наложениями] правильный треугольник со стороной 2? Можно ли покрыть правильный треугольник со стороной, большей двух?

Ответ на первый вопрос задачи 33 — да, можно. Пример покрытия показан на рисунке

Над вторым вопросом подумайте еще пару часиков ;-)

Ответ на второй вопрос задачи 33 — тоже «да». Объяснение на чертеже.
http://blog.kknop.com/2017/02/blog-post_18.html

34. В дугу AВ окружности вписана ломаная АМВ, состоящая из двух отрезков. Докажите, что основание перпендикуляра, опущенного из середины дуги АВ на больший отрезок АМ, делит ломаную пополам.