"Игра престолов" гремит на весь мир, так почему бы и математикам не отщипнуть кусочек этой славы? Тем более, что опыт был — изучив Веселенную "Звездных войн", сделали себе имя специалисты из политеха Лозанны. На сей раз исследование выполнили математики из американского колледжа Макалестер. По книге "Буря мечей" они построили граф связей между персонажами — получилось 107 вершин и 353 ребра. Самым значительным героем оказался Тирион, за ним Джон Сноу, потом Санса. Статья целиком : https://www.maa.org/sites/default/files/pdf/Mathhorizons/NetworkofThrones%20%281%29.pdf

Всем привет, припомнилась симпатичная задачка.

Дана фигура на плоскости. Известно, что её площадь строго меньше единицы. Начертим на плоскости целочисленную координатную сетку (линии на расстоянии 1 друг от друга). Докажите, что данную фигуру можно так положить на плоскость, что она не пересечёт ни одну вершину сетки

Решения можно присылать на blinov507@gmail.com

Решение вчерашней задачки (по ссылке)

Режем координатную сетку на квадратики 1*1 , в каждый из которых входит собственно внутренность квадратика, левая верхняя вершина, левое ребро и верхнее ребро.

Теперь складываем квадратики стопочкой. Проекция нашей фигуры в этой стопке, очевидно, будет иметь площадь строго меньше единицы, раз уж и целая фигура такова.

Значит, внутри стопки будет точка, не принадлежащая фигуре. Остаётся переместить туда вершину стопки (а, значит, все вершины сетки) и развернуть сетку обратно

https://t.me/obznam/83

Вдогонку к решению вчерашней задачки вспоминается ещё иллюстрация к теореме Банаха о неподвижной точке.

Если взять большую карту Москвы (без эксклавов) и бросить на неё маленькую карту Москвы так, чтобы она полностью легла на большую, то всегда найдётся и причём только одна точка на маленькой карте, под которой будет лежать точка большой карты точно с таким же адресом
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%91%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D1%85%D0%B0_%D0%BE_%D0%BD%D0%B5%D0%BF%D0%BE%D0%B4%D0%B2%D0%B8%D0%B6%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%BA%D0%B5

Изящное и совсем короткое доказательство иррациональности числа "е":
https://fermatslibrary.com/s/elementary-proof-that-e-is-irational

Вдруг я проснулся. Часы показывали 7:00. На нуль делить нельзя, подумал я и повернулся на другой бок

(С) Александр Кондратьев

Сегодня ровно 35 лет тетрису, в связи с чем вспомнилась задачка, которую сформулировала и решила американская математик Хайди Бурджил (сейчас она работает в Гарварде):

Доказать, что даже мгновенная реакция и безошибочный выбор не позволят играть в тетрис бесконечно.

Идея доказательства проста: "кривые" z-образные тетрамино иногда создают комбинации, когда линию не сотрёшь. Значит, если комп не подыгрывает, а выбрасывает фигурки случайно, рано или поздно "кривых" тетрамино выпадет подряд столько, что они заполнят весь стакан

Подробная статья Хайди об этом тут :
http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.55.8562&rep=rep1&type=pdf

Один профессор в Новосибирске так объяснял сходимость степенного и расходимость гармонического рядов:

Представьте, что на берегу Байкала сидит мужик с напёрстком и зачерпывает и выливает за спину каждый раз вдвое меньше. Сначала один полный напёрсток, потом половину, потом четверть, одну восьмую и так далее. Да ведь он таким манером никогда не вычерпает даже два напёрстка!

А вот если бы он сначала полный напёрсток, потом половину, потом треть, четверть, одну пятую и так далее — таким манером он когда-нибудь весь Байкал неизбежно вычерпает!

Это график количества случаев изъятого героина в зависимости от массы вещества (via фб Konstantin Rupasov). Автор аналитической статьи Алексей Кнорре ( http://enforce.spb.ru/images/Knorre_Drug_crimes_in_Russia.pdf ) предполагает, что он свидетельствует о манипуляциях полиции — ну правда, как-то странно же, что большинство задержанных имеют при себе на чуть-чуть больше вещества, чем определено в статье УК. Всё так, базовое соображение такое, но нужно иметь в виду, что при интерпретации статистики легко перепутать причину и следствие. Давайте представим, что норм УК нет и мы собрали статистику по носителям веществ и вдруг оказалось, что на графике две моды (которые могут объясняться особенностями приема веществ и ценовой политикой дилеров, например). Какие мы тогда введем нормы УК? Да вот такие же, и график останется примерно тем же. Это не означает, что автор статьи не прав, просто возможны нюансы

Мы против наркотиков, мы за умение разбираться в полярных координатах. На рисунке — график функции R = (1+sin(t)) (1+.9cos(8t)) (1+.1cos(24t)) , которую лет 15 назад подобрали ЖЖ-юзеры supman и biojane . Жаргонное название кривой — каннабола

Это Бритни Галливан, мировая рекордсменка по складыванию бумаги пополам. Тут она вместе со своим рекордом — бумажной лентой, сложенной пополам 12 раз.

Казалось бы, ну что такого? Всё дело, конечно, в высокой скорости роста степенной функции — при N сгибах пополам толщина согнутого листа, очевидно, составляет 2^N исходных толщин, соответственно, толщина свёрнутой ленты, которую держит Бритни, в 4096 раз больше, чем в развёрнутом виде. Ясно видно также, что в 13-й раз эту ленту не согнуть. Жалко. После 43-го сгиба её толщина составила бы расстояние от Земли до Луны, после 52-го — до Солнца.

Подробнее о проблеме складывания бумаги пополам можно почитать здесь — https://gaurish4math.files.wordpress.com/2015/12/folding_paper_in_half.pdf

Ну а раз сегодня пятница, то вот вам доказательство по индукции, что все лошади одного цвета:

База индукции: Одна лошадь, очевидно, одного цвета

Индукционный переход: Пусть доказано, что любые K лошадей одного цвета. Рассмотрим K + 1 каких-то лошадей. Уберём одну из них. Оставшиеся K лошадей одного цвета по предположению индукции. Возвратим убранную лошадь и уберём другую. Оставшиеся K лошадей снова будут одного цвета. Значит, все K + 1 лошадей одного цвета

Следовательно, вообще все лошади одного цвета

Дырка пятничного "доказательства" заключена в базе индукции. То же рассуждение, что и в индукционном переходе, провести с такой базой нельзя — когда вы убираете одну лошадь, то не остается ни одной, и об их цвете сказать ничего нельзя. То есть для корректной базы надо брать минимум 2 лошади — а они вовсе необязательно одного цвета
https://t.me/obznam/94

Сейчас так много говорят о ворованных или скомпилированных научных работах, что хочется привести пример обратного свойства.

Известный математик и лингвист Владимир Успенский (в свое время — зав кафедрой логики мехмата МГУ) написал много ценных статей, но наибольшую славу ему принесла работа «К определению падежа по А. Н. Колмогорову» (1957). Успенский первым опубликовал это определение (через классы эквивалентности контекстов), но отнёсся к авторству идеи настолько щепетильно, что назвал автора в заголовке.

Позже в статье "Колмогоров, каким я его помню" (см. по ссылке) Успенский добавит, что Колмогоров вообще подал ему эту идею мимоходом — но у него даже мысли не возникло её присвоить. Авторство слишком дорогая и уникальная вещь.

"Писатель скорее придумывает, чем открывает, а учёный скорее открывает, чем придумывает, — пишет Успенский. — и потому возникает ощущение, часто несправедливое, что открыть мог бы и кто-либо другой".  Плагиаторы так и рассуждают, хотя сами не могут ничего
http://lpcs.math.msu.su/~uspensky/bib/Uspensky_2006_Kolmogorov_kakim_ego_pomnu.pdf

Вспомнилась байка, как во время войны Стекловку эвакуировали в Казань. Там было никому не нужное поле, где сотрудникам института разрешили копать мерзлую морковку.

И вот однажды на промысел вышли сотрудники Колмогоров, Александров и Понтрягин -- которым, видимо, кто-то объяснил, что морковка это такой съедобный оранжевый конус, направленный вершиной к центру Земли. Ну вот, значит, копают они конусы, и вдруг подходит боец с автоматом:

-- Предъявите документы!
-- А разве нельзя копать? -- спросил кто-то из трех великих советских математиков -- Нам разрешили
-- Можно. Но... странные вы какие-то

Видели на днях Юпитер на ночном небе "внизу справа" от Луны? Мне в связи с этим вспомнилась не так давно опубликованная статья, что, по последним данным, ещё древние вавилоняне умели методом трапеций точно определять местоположение Юпитера — за полторы  тысячи лет до средневековых европейских учёных. Вот она:
https://fermatslibrary.com/s/ancient-babylonian-astronomers-calculated-jupiter-s-position-from-the-area-under-a-time-velocity-graph#email-newsletter

О прямых один преподаватель матанализа в советские времена говорил так:

— Как видим, вторая производная линейной функции всюду равна нулю. Что ж, наш путь прямой: каждая точка — точка перегиба

Люблю передачу "Что? Где? Когда?" и уважаю её магистров. Но тем ярче запоминаются их нечастые эпические фейлы — примерно как Леонель Месси, не забивший пенальти за Аргентину в финале Кубка Америки. Один такой фейл знатоков произошёл 19 декабря 1992 года.

Проиграв телезрителям 6:2, команда Блинова попросила доп. раунд, при этом сам Блинов, а также Друзь и Двинятин поставили на кон свои красные пиджаки и титулы Бессмертных. Тогда они получили вопрос:

Бреет ли сам себя цирюльник, если сам цирюльник бреет всех, кто не бреется сам?

И знатоки ответили "нет", то есть неправильно! А правильно — ни "да", ни "нет", дать однозначный ответ нельзя. И это такой известный логический парадокс, что странно магистрам ЧГК его не знать, а, кроме того, он настолько прост, что и не зная можно догадаться.

Однако хотелось бы не только напомнить этот забавный случай, но и внести некоторое уточнение в летопись ЧГК (см. ссылку внизу), куда вкралась неточность, которая с тех пор кочует из сайта в сайт. Там парадокс брадобрея, о котором задали вопрос команде Блинова, назван парадоксом Рассела, а это не так, хотя парадоксы и похожи.

Парадокс Рассела заключается в том, что невозможно сказать, существует ли множество всех множеств, не являющихся элементами самих себя (задайтесь вопросом — принадлежит ли такое множество само себе?). И это не только звучит сложнее, чем про брадобрея, но и сложнее по сути, как верно отмечено в статье википедии — https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%B4%D0%BE%D0%BA%D1%81_%D0%A0%D0%B0%D1%81%D1%81%D0%B5%D0%BB%D0%B0

http://chgk.tvigra.ru/letopis/?19921219

А вот ещё задачка, не требующая специальной подготовки

Кольцевая железная дорога полностью забита составом из одинаковых вагонов. В каких-то из них горит свет, а в каких-то нет. Вы садитесь в один из вагонов. Всё, что вам разрешается делать — ходить между вагонами и включать или выключать свет. Никаких пометок или зарубок оставлять нельзя. Окна зашторены, и улицу вы не видите.

Требуется подсчитать общее количество вагонов в составе

Решение задачки из предыдущего поста (хотя мне кажется, что все её решили сами).

Без ограничения общности можно считать, что в вагоне, в который вы вошли, свет горит. Тогда вы выбираете направление обхода и двигаетесь, подсчитывая пройденные вагоны, до первого из них, где тоже горит свет. Выключаете свет и двигаетесь в обратном направлении на то же количество вагонов — так вы снова попадаете в свой начальный вагон. Если в нём свет уже не горит, значит, это вы его только что выключили, и количество подсчитанных вагонов есть решение задачи. Если горит, тогда вы снова двигаетесь до первого освещённого вагона и повторяете итерацию, пока не выключите свет в своём начальном вагоне
https://t.me/obznam/107