Поговорка "каким ты был, таким ты и остался" на языке матанализа:

d(ты) / dt = 0

В этом году 40 лет книге Дагласа Хофштадтера "Гёдель, Эшер, Бах: эта бесконечная гирлянда". Это смелая попытка соединить и объяснить сразу несколько отраслей человеческого искусства и знания, что видно даже из заголовка. Необычное произведение, наделавшее в своё время много шума в научно-популярном мире и получившее Пулитцеровскую премию в номинации "Нехудожественная литература".

Сейчас, c высоты лет, какие-то подходы и теории выглядят устаревшими или наивными. Кому-то может показаться, что, публикуя вымышленные диалоги Ахилла с Черепахой, автор держит читателя за ребёнка. Показаться так может, но не думаю, что так и есть. Приём служит той же цели, что и вся книга — смотреть на мир другим, непривычным и небанальным взглядом. В этом смысле книга, безусловно, полезна. Отдельное удовольствие доставляет русский перевод , очень непростой из-за огромного количества каламбуров.

Для иллюстрации приведу одну из сотен мыслей, высказанных в книге. Вот говорят, что компьютер может только выполнять команды, заложенные в программе, и в этом смысле ни о каком интеллекте машины не может идти и речи. Это так, но результат выполнения программы может оказаться неожиданным для её автора, и уже в этом смысле поведение компа трудноотличимо от человеческого. И чем дальше, тем больше: программируя на языках всё более высокого уровня, мы всё меньше представляем, а что собственно происходит внутри машины при исполнении высокоуровневых команд.

В общем, несмотря на почтенный возраст произведения — а научпоп устаревает особенно быстро — советую почитать:
https://vk.com/doc10903696_333454184?hash=cc7f78da8bb828bca5&dl=736ed60b57aa008b0a

Кстати, о соединении различных отраслей знания и искусства. В творчестве Льва Николаевича Толстого можно обнаружить самую настоящую рекурсию. Вот что он пишет в "Отрочестве":

"Склонность моя к отвлеченным размышлениям до такой степени неестественно развила во мне сознание, что часто, начиная думать о самой простой вещи, я впадал в безвыходный круг анализа своих мыслей, я не думал уже о вопросе, занимавшем меня, а думал о том, о чем я думал. Спрашивая себя: о чем я думаю? -- я отвечал: я думаю, о чем я думаю. А теперь о чем я думаю? Я думаю, что я думаю, о чем я думаю, и так далее. Ум за разум заходил..."

Пруф: http://az.lib.ru/t/tolstoj_lew_nikolaewich/text_0020.shtml

шутки Шредингера: смешные и несмешные одновременно

шутки Фибоначчи: каждая новая такая же смешная, как две предыдущие в сумме

шутки Гёделя: какую ни придумай, всегда найдётся ещё смешнее

Раз уж упомянули Гёделя в предыдущем посте, то давайте немного о нём поговорим. За его теоремы неслучайно ухватились многие нематематики и даже гуманитарии, ведь как ни крути, а речь в философском смысле идёт о границах познания и как бы о тщетности этого процесса — чего ни придумай, а все равно нужны ещё аксиомы.

Но в данном случае хотелось бы не философствовать, а поговорить о конкретном примере "ещё одной аксиомы", которую из привычной нам арифметики Пеано не выведешь. Тем более, что такой пример часто просят привести. Пример называется теорема Гудстейна (см. ссылку)

Её формулировка может, как сейчас говорят, снести крышу — настолько неочевидной она кажется на первый взгляд, да, пожалуй, и на второй. Посмотрите — ведь так же? Функция Гудстейна, кажется, обязана всегда расти, причем сумасшедшими темпами, однако оказывается, что это не бесконечный процесс. Рано или поздно она примет значение нуль.

Но что сносит крышу во второй раз — так это то, что хотя теорема Гудстейна и верна, она недоказуема — с чего мы собственно и начали. Доказать её — все равно что доказать непротиворечивость арифметики Пеано, но в рамках самой арифметики Пеано это невозможно сделать. Доказательство, как пишут, возможно в рамках арифметики второго порядка, но я, честно говоря, в ней не очень разбираюсь, и если кто-то найдет способ популярно объяснить — пишите на blinov507@gmail.com

Мы же ограничимся не доказательством, раз уже его не существует (если не жалко времени, можете попробовать индукцию — ничего не выйдет), а спекулятивным рассуждением, которое, как представляется, помогает понять, почему утверждение теоремы Гудстейна верно.

Дело в том, что вот та самая единичка, которая отнимается от всей конструкции, иногда вносит в неё "переполох" — количество слагаемых вырастает, но степени не во всех из них так уж велики. И основание степени уже не всегда удается увеличить А потом рано или поздно уменьшается количество самих слагаемых, и когда-нибудь возникает ситуация, что слагаемое вообще одно и тогда уже вы спокойно можете доотнимать от него свою единичку до самого нуля.

Как это работает на малых числах, можно опять же посмотреть по ссылке. Но ещё раз повторим — это ни в коем случае не доказательство

https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%93%D1%83%D0%B4%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%B0

Старое, но нетленное. Три математика заходят в бар.
Бармен: Все ли господа будут пиво?
1-й математик: Не знаю.
2-й математик: Не знаю.
3-й математик: Все

Утренняя зарядка. Сколько существует трёхзначных чисел, сумма цифр которых ровно в 12 раз меньше самого числа?

Ответ на вчерашнюю задачку: такое число всего одно — 108.

Пусть искомое число имеет запись abc. Тогда по условию
100*a + 10*b + c = 12* (a + b + c)
то есть
88*a = 2*b + 11*c

Поскольку числа b и c не больше 9, число а может быть равно только 1 , а дальше несложно проверить перебором, что решение есть только при b=0 , с=8

https://t.me/obznam/116

Американской домохозяйке Марджори Райс на этом фото, сделанном в 1970-е, около 50 лет. В середине десятилетия в Scientific American выходит колонка великого просветителя Мартина Гарднера о пятиугольных паркетах — их на тот момент известно 8 разных.  Марджори бросается на поиски — и находит еще 4 варианта! Примерно в те же годы еще один вариант обнаруживает Ричард Джеймс, 14-й вариант открывают в 1985-м году, а 15-й аж через 30 лет — в 2015-м. Марджори Райс, которой уже за 90 и которую поразила деменция, вероятно,  не осознает этого достижения. А спустя два года, в июле 2017-го появляется доказательство, что больше пятиугольных паркетов не бывает, их только 15 и все они уже найдены (доказательство принадлежит Майклу Рао, оно не самое простое — http://perso.ens-lyon.fr/michael.rao/publi/penta.pdf ). Ровно в этот момент, в июле 2017-го, Марджори умирает. Вот и думай теперь о совпадениях и предназначениях человека на Земле

Хотите покрутить случайную поверхность из 52 400 прилегающих друг к другу треугольников, в сумме с 26 400 вершинами? Это дают здесь:
https://sketchfab.com/3d-models/random-surface-b55dbb8498ea497e98817a3900a2be25

История как раз для пятницы. Играем, значит, вчера в Эврику (см. ссылку) и попадается вопрос по теме "Юбилей":  

Какого автора 90 книг чествовали в 1928 году?

И тут меня торкает — ну, конечно же, это Лев Толстой, хоть я и не поклонник его творчества и понятия не имею, сколько книг он написал.

Коллеги спрашивают:
— А почему Толстой-то?
— Ну потому что юбилей, значит 100 лет, то есть он родился в 1828, а кто родился в 1828? Поскольку мы знаем число "е", то знаем, что это Толстой

е = 2,718281828...

Ну, то есть, сначала 2,7 , а потом два раза подряд год рождения Льва Толстого. Математики запоминают его год рождения именно так. Ну а гуманитарии, соответственно, именно так запоминают число "е"

https://www.eurekaquiz.ru/

На тему выборов — нетленная задачка из "Кванта", как имея в кармане поддержку всего 1% избирателей, обеспечить себе победу на выборах демократическим путём. Страна Анчурия, президент Мирафлорес:
http://kvant.mccme.ru/1970/01/p52.htm

Простой узел-трилистник невозможно развязать без разрезания, однако ничто не мешает, в отличие от лестницы Эшера, построить настоящую лестницу в виде трилистника, оборудовав её перилами, чтобы не упасть. Гуляй не хочу

https://sketchfab.com/3d-models/walkable-simple-trefoil-f08b5f048b034bae88dfb0bc25544d1f

Всякий, кто питает слабость к арифметическим методам получения случайных чисел, грешен вне всяких сомнений
(Джон фон Нейман)

Математика и лингвистика настолько близки, что если бы не историческое "проклятие факультетов", их стоило бы изучать вместе. Ещё одно обоснование тезису принесла шуточная задачка в фейсбуке: придумать осмысленное предложение с "депеш мод" как двумя подряд русскими словами в родительном падеже множественного числа.

На неё поступило три ответа разной степени "лингвистичности" и "математичности":

1) Чисто лингвистический — "Из этих парижских депеш мод новых не узнаешь!"

2) Смешанный —  "Частотный анализ зашифрованных депеш мод не выявил"

3) Чисто математический — само условие задачи является решением

Древние римляне были слабы в алгебре, у них X всегда равнялось 10

Узор из снежинок Коха — картинка с выставки математического искусства, которая проходила в рамках конференции в австрийском Линце 16-20 июля. Шикарное мероприятие, судя по архиву http://archive.bridgesmathart.org/2019/index.html — и фейсбуку Татьяны Бонч-Осмоловской, откуда и взята картинка

Кстати, о снежинке Коха, раз уж зашёл разговор. Это замечательная и очень простая в построении кривая, два свойства которой мне помнятся ещё со школы, а вот третье узнал совсем недавно:
1) Это кривая бесконечной длины, ограничивающая конечную площадь
2) Это непрерывная, но нигде не дифференцируемая кривая
3) Снежинками Коха двух разных размеров можно замостить плоскость (см. рисунок)

Во-первых, это красиво. А во-вторых, можно в порядке тренировки спросить себя, какую кривую описывает конец крестика — эллипс, овал или какую-то третью

Терпеть не могу термин "большие данные". Во-первых, из-за неясности определения. Большие это сколько -- миллион чисел, сто миллионов, миллиард? Во-вторых, а что, собственно, меняется от того, миллион их или миллиард?

Сложность операций, в сущности, такая же -- хоть складывай эти числа и дели на N, чтобы арифметическое среднее найти, хоть перемножай и корень N-й степени извлекай. Лишь бы для вычислений хватило ресурсов компа, но это уже свойство компа, а не данных

Совсем другое дело как раз маленькие данные. Вот представьте, вам для решения об одобрении лекарства нужно провести испытание на обезьянах. И по-хорошему, надо бы изучить вопрос на самых разных особях: мужских, женских, детенышах, взрослых, старых, толстых, худых, рожавших, больных и так далее. Если делать полный перебор по всем факторам -- это потребуются тысячи подопытных дорогих животных, которых вам никто не даст. И вот тут уже искусство -- как принять решение, располагая, скажем, десятком обезьян.

Тут вы, упрощенно говоря, берете одну особь женскую, старую и толстую, а другую мужскую, молодую и худую, и по разнице реакции на лекарство начинаете смекать, что обусловлено полом, что возрастом, а что комплекцией. Изощрённая статистика малых данных + грамотная биология. Вот это дело, я понимаю