Ага

Для бикатегорий, это вполне получилось.
Но это не показатель — строгие и слабые 2-категории эквивалентны...

Я с ходу, не вспомню, где объясняют про слабую обогащённость, кроме как в объяснении Trimble'овских n-категорий.
Но если есть какая ссылка, то можно попробовать разобраться, что там не так, ну или что всё в порядке ;-)

Я ссылку уже не найду :( Последний раз у меня было время читать что-то года три назад :(
Так, всплыло в памяти

А есть вообще монография по higher category theory классическая какая-нибудь, как Маклейн по обычному теоркату?

Ну смысл именно такой, а разбираться, видимо, стоит конкретно.

Неа. Настолько же качественной вещи нет.
Это вполне объяснимо — область ещё до конца не сфоимировалась.
Только определений n-категорий штук 10.
И только про некоторые доказали, что они эквивалентны.

> Возьмём все стрелки a→b, ну вот они что-то типаа "множество".
enriched, если неформально, то это категория, в которой стрелки образуют какую-то структуру, являющуюся объектом какой-то (моноидальной) категории

я туплю.
* Все стрелки между двумя объектами (хомсет) или прям все в категории?
* Если я правильно усвоил, то моноидальная категория та, в которой есть моноид. Образованная стрелками структура должна быть моноидом или просто быть в этой категории?

Даже попробую перечислить на память, они все по именам называются.
Penon, Batanin, Leinster, последние два эквивалентны, первый несколько примитивен. Это глобулярные.
Simpson и Tamsamani, это на тему обощения понятия нерва категории и (урезанной, чтоб не получилось кубов...) последовательной интернализации и с симплексами.
Street — эдакая комбинаторика про симплексы.
Диски Joyal'а/
Интереснейшая штука опетопы (opetopes).
Trimble — это обобщение категории гомотопий.
May — обощение Trimble'овых, но Cheng показала, что там обшибка и сделала свои Trimble-like.
Нутам, кубические ещё есть, но они используются, в основном, они используются, как (∞,1).
Ну, десяток есть, не соврал ;-)

Моноидальная категория это категория с двуместным эндфунктором, которая является моноидом

в моноидальной есть единица и тензорное произведение

Жесть какая-то

> Все стрелки между двумя объектами (хомсет) или прям все в категории?
Какбе да. В качестве первого приближения, можно считать, что это такой Hom-set, на котором задана какая-то структура, например, группы.

> моноидальная категория та, в которой есть моноид.
Совсем не так.
https://en.wikipedia.org/wiki/Monoidal_category
https://ncatlab.org/nlab/show/monoidal+category
Это в которой есть "произведение" объектов.
И это произведение более общее, чем декартовое произведение.
Например, нет проекций.

Ну, любая категория с декартовым произведением является моноидальной относительно него, это первый простой пример.
Что-то отличающееся, ну это например, всякая линейная алгебра и около.
Например, категория модулей или линейных пространств, там в качестве моноидального произведения выступает тензорное произведение.
Примеры с тензорными произведениями были самыми первыми, и наверное, остаются самыми используемыми.
Поэтому, так бывает, что в моноидальной категории, произведение называют "тензорным".
Не виду ничего плохого, тем более, что и обозначается оно так же — "лампочкой" или ⊗

Определение может показаться пугающим, на первый взгляд...

А можно определить их формализмом каким-нибудь? Ну то есть люди, которые с этим работают, наверняка знают какие свойства высших категорий. Можно попробовать аксиоматику сколотить, нет?

Ну и понятие моноида в моноидальной категории, это прикольная штука.
Например, функторы относительно операции композиции образуют моноидальную категорию.
И моноид в ней — обычная монада.
Моноид в Set, это обычный моноид, ну и моноид в категории с декартовым произведением, это что-то, более-менее похожее на обычный моноид.
Моноид в категории абелевых групп — это ассоциативное кольцо с единицей.
Ну или просто стрелка x⊗x→x, это кольцо общего вида.
Так же, вводится понятие действия моноида в моноидальной категории.
Так получают, например, обычные модули (ну или векторные пространства) или алгебры, ну или даже алгебры для монады.

Можно попробовать... Но пока этого никто не сделал.

Я из тех определений, ну где-то половину хорошо понимаю.
Может быть, даже сделаю ещё один вид ;-)
Ну все в курсе за комикс про стандарты ;-)
А именно, обобщить кубы и опетопы.
От кубов надо конструктивную унивалентность (ещё надо сформулировать n-унивалентность...), от опетопов операцию распетливания.
Это же обобщит и симплексы и глобулярное.
Про Trimble, кажется, тов. Cheng уже показала, что в некотором роде, оно эквивалентно глобулярному...