Перечитав про естественные преобразования, я это себе попытался обьяснить так: выбирая для каждого `c` (для каждой вершины возможных конусов, представляющих собой произведения) факторизующий морфизм из `C(c,LimD)` (вот этого вот множества стрелок, «спускающихся» из каждого другого не универсального конуса, у каждого из них она только одна такая) мы строим естественное преобразование (оно отображает объекты в морфизмы). Ну или не обязательно «другого не универсального», если принять то, что универсальный дефакторизовывается через свой тождественный морфизм. Я прям написал в точности тоже, что и Бартоша, вроде :)

да, я понял это) читаю дальше, по страничке в день

полагаю Бартош не мог написать оно отображает объекты в морфизмы

ну не прям так, не дословно, но суть такая

почему? По моему там так и было, я как-то спрашивал мол как так, функторы же отображает
а он там просто семейство морфизмвов описал

Я понимаю ваше негодование, вероятно, вы тут правы. Но моя нубская интуиция мешает мне исходить из "отображения объектов на морфизмы".
Если представлять это как одну из форм "отображения между похожими объектами с сохранением внутренней структуры", то легко можно интуитивно получить, какие морфизмы оно должно строить и какими равенствами обладать, и, главное, какую категорию формировать на автомате.

А отображение объектов в морфизмы для меня это что-то из оперы профункторов и замыканий

http://komar.bitcheese.net/files/учебник-по-теории-категорий.pdf
5-ая страница

открыл, там же про предпорядки

хм, прочитал это без контекста примера

в смысле, там же весь пункт про предпорядки

там определение,  и всё, что ниже про них

Если полностью следовать некой формальной модели, то начинать изучать будет сложновато.
А если не следовать, то возможны такие вот казусы.
Можно и про стрелки сказать, что у них есть два отображения множества стрелок на множество объектов ;-)
Ну, в смысле, сопоставить каждой стрелке её домен и кодомен.

А зачем нужна теория категорий?

Во-первых, просто немало концепций формулируется при помощи теории категорий — как в математике, так уже и в теории типов.
Во-вторых, категории часто являются неплохим обобщением и помогают объединить несколько разных вещей. Например, алгебру и топологию — не будет уж прям большим преувеличением сказать, что категории родились из структур алгебраической топологии.

Выразить математические законы в программировании?

Я почитал статью на хабре, стало более понятно

категория это частный случай композиции ?