214. Один угол треугольника равен 60°, а лежащая против этого угла сторона равна трети периметра треугольника. Докажите, что данный треугольник равносторонний.

#задача

Прежде, чем написать решение задачи 213, скажу, что там бывает 6 конструкций. Нашли ли вы все?

Задача с вчерашнего Турнира Ломоносова: найти углы серого прямоугольного треугольника.

215. Существует ли выпуклый многогранник, имеющий 12 рёбер, которые соответственно равны и параллельны 12 диагоналям граней куба?

#задача

Решение задачи 214.

#решение

Решение задачи 213

#решение

216. В треугольнике ABC угол А наименьший. Пусть U —
точка на той дуге ВС описанной около треугольника окружности, которая не содержит точку А. Серединные перпендикуляры к отрезкам АВ и АС  
пересекают прямую AU в точках V и W соответственно. Прямые BV и CW пересекаются в точке Т. Докажите, что AU=ТВ+ТС.

#задача

217. Дана окружность Г с центром О и диаметром ВС.
Пусть А — такая точка окружности Г, что
0° < ∠AOB < 120°,  a D — середина дуги АВ, не содержащей С. Прямая, проходящая через точку О параллельно DA, пересекает прямую АС в точке J. Серединный перпендикуляр к отрезку О А пересекает окружность Г в точках Е и F.

Докажите, что точка J является центром окружности, вписанной в треугольник CEF.

#задача

Я долго откладывала, искала час целиком, собирала ваши вопросы. Пора начать.

#вопрос
Что нужно для понимания геометрии? Представление фигур, знание формул? Или и то, и другое?

#вопрос
В треугольнике MNK проведены высоты NP и KC, пересекающиеся в точке А. MP=2, PK=5, AN:AP=3:2. Найти KC.

218. Биссектриса угла параллелограмма делит сторону параллелограмма на отрезки, равные a и b. Найдите стороны параллелограмма.

#задача

Напомню задачу Архимеда:
На отрезке AB взята точка C. На отрезках AC, CB и AB построены три полуокружности. CD – перпендикуляр к AB. Две окружности касаются каждая двух полуокружностей и отрезка CD. Двигая точку C по отрезку AB, найдите в этой конструкции взаимосвязь частей.

Можете поисследовать самостоятельно. Алексей Сгибнев нарисовал живой чертеж.

#живой_чертеж

219. Существует ли невыпуклый пятиугольник, никакие две из пяти диагоналей которого не имеют общих точек (кроме вершин)?

#задача

Решение задачи 218.

#решение

220. На клетчатой бумаге отметьте три узла так, чтобы в образованном ими треугольнике сумма двух меньших медиан равнялась полупериметру.

#задача

Боюсь, что некоторые школьники будут использовать Вас для решения своих домашек/контрольных и т.п. Так что советую Вам, если вы все же решитесь заниматься подобным форматом, очень избирательно подходить к выбору задач для их решения.

#вопрос

Задача на инверсию

Рассмотрим три попарно пересекающиеся окружности W1, W2, W3. R — их радикальный центр. Рассмотрим 6 попарных точек пересечения окружностей. Обозначим через O_1 центр окружности, описанной около треугольника, образованного какой-то тройкой общих точек W1 и W2, W1 и W3, W2 и W3. А через О_2 обозначим центр окружности треугольника, образованного вторыми точками пересечения этих окружностей. Докажите , что О_1, О_2, R лежат на одной прямой.

Эту задачу мне задали в вопросах. Чтобы было быстрее, давайте привлечем помощь читателей. Кто умеет решать, пишите сразу в @geometrychat

#вопрос #задача