221. Две окружности пересекаются в точках A и B. В точке A к обеим проведены касательные, пересекающие окружности в точках M и N. Прямые BM и BN пересекают окружности еще раз в точках P и Q соответственно. Докажите, что отрезки MP и NQ равны.

#задача

Решение задачи 219.

#решение

Решение задачи 220.

#решение

Решение задачи на инверсию.

#решение

222. Можно ли нарисовать 1009 различных 2017-угольников, у которых все вершины общие, но при этом ни у каких двух нет ни одной общей стороны?

#задача

Решение задачи 221.

#решение

Если вы ищете задачки не только по геометрии, то я знаю вот такие места:

@ezhidze_channel Канал с олимпиадными задачками и вопросами чгк почти в том же формате, как здесь.

@MathematicsTips Канал всяких математических лайфхаков. Я считаю, что математику вредно воспринимать как набор фокусов, но вдруг вам пригодится. Канал ведет школьник 10 класса.

@zadachki Чат, в котором иногда появляются задачки и все их дружно решают. Задачи там довольно редки. Приходите и добавьте своих. Задачи этого чата собираются в канале @zadachas. Вообще, это порождение довольно мощного канала
@funscience, в котором публикуются новости науки.

@MATEM Канал с ребусами, головоломками и простыми задачками. Стиль автора мне нравится не очень, но ребусы годные.

Всё это не реклама. Делюсь тем хорошим, что знаю. И надеюсь, что вы тоже расскажете где-нибудь о моем канале.

223. На стороне AB параллелограмма ABCD или на её продолжении взята точка M, для которой  ∠MAD = ∠AMO,  где O — точка пересечения диагоналей параллелограмма. Докажите, что MD = MC.

#задача

Решение задачи 222.

#решение

224. В треугольнике ABC провели биссектрису CL. Серединный перпендикуляр к стороне AC пересекает отрезок CL в точке K. Докажите, что описанные окружности треугольников ABC и AKL касаются.

#задача

Это задача с осеннего Турнира городов этого года. Школьники сказали так: в конструкции очень много замечательных свойств, но все они бесполезны для решения.

Завтра в 19:00 в МЦНМО будет первый в этом семестре доклад на семинаре учителей математики: А.Б.Скопенков. О преподавании элементов топологии старшеклассникам.

Решение задачи 223.

#решение

225. В квадрате ABCD точки K и M принадлежат сторонам BC и CD соответственно, причём AM — биссектриса угла KAD.
Докажите, что  AK = DM + BK.

#задача

226. Существует ли треугольная пирамида, среди шести рёбер которой:
 а) два ребра по длине меньше 1 см, а остальные четыре — больше 1 км?
 б) четыре ребра по длине меньше 1 см, а остальные два — больше 1 км?

#задача

Задачи Турнира Ломоносова появились на problems.ru

Решение задачи про серый прямоугольный треугольник: http://problems.ru/view_problem_details_new.php?id=66280

Завтра в 17:30 в «Экспериментаниуме» будет лекция для школьников «Доказательства с помощью картинок» Сергея Александровича Дориченко

«Мы познакомимся с задачами, где геометрия помогает алгебре – формулы доказываются не скучными преобразованиями и вычислениями, а наглядно. С помощью геометрических картинок можно найти суммы первых N квадратов и кубов, доказать теорему Пифагора, иррациональность корня из 2 и многое другое…»

227. В выпуклом четырехугольнике OLEG точки O и E соединили с серединами противоположных сторон. Точки пересечения проведенных отрезков — K и Y. Известно, что площадь OKEY = 666, найдите минимально возможную площадь исходного четырехугольника.

#задача

Решение задачи 225.

#решение

Решение задачи 227.

#решение

228. Окружность с центром O проходит через концы гипотенузы прямоугольного треугольника и пересекает его катеты в точках M и K.
Докажите, что расстояние от точки O до прямой MK равно половине гипотенузы.

#задача