Любой морфизм f : Z -> X определяется однозначно элементом f(1) \in X.

Получается, что если функтор U: Grp \rightarrow Set представим, то существует такой изоморфизм между U и Hom(\mathbb{Z}, любая группа)  и свободная группа будет представляющим объектом для U?

А сам функтор при этом может быть просто забывающим

так, если функтор представим, то существует изоморфизм между ним и  Hom( какая-то группа , любая группа )

Если это забывающий, то какая-то группа = Z

А можно ли явно указать, куда представимый функтор переводит объекты и морфизмы? Объекты в морфизмы из представляющего объекта в объекты? (Для произвольной С)

Как и любой функтор C -> Set объекты он переводит в какие-то множества, морфизмы - в какие-то функции

Но если он представим, то элементов в результирующем объекте F(x) будет столько же, сколько морфизмов a -> x в C

Где а — представляющий объект? Тогда в Set можно говорить просто про множества функций из представляющего объекта в наш, так как нам достаточно рассуждений с точностью до мощности (изоморфизма)

да

т.е. нет.

о множестве морфизмов

А, ну да, мы же говорим про множество морфизмов в категории C, до действия на них забывающего функтора

Это забывающий функтор из произвольной категории C, вида F: C\rightarrow Set, который имеет очевидный изоморфизм с ковариантным функтором Hom(1, ), где 1 — представляющий объект категории C. Представляющий объект можно получить, рассмотрев левый сопряженный функтор U к F, такой, что U: Set\rightarrow C, то F представим U(1), где 1 — синглетон в Set, т.к. Hom(U(1),X) = Hom(1,F(X)) = F(X). Число морфизмов из представляющего объекта в категории C в интересующий нас объект X — образ действия представимого забывающего функтора F (так как в Set все объекты изоморфны с точностью до мощности).

А морфизмы из C под действием функтора переходят в какие-то функции в Set, которые могут быть построены между множествами морфизмов Hom(1,F(X)) и Hom(1,F(Y)), например, то есть, любых двух объектов изначальной категории.

Обычно, конечно U обозначают забывающий, а F свободный

Кажется, я почти расшарил основы, осталось закрепить это как-нибудь. Попробую примеров составить

морфизмы могут не быть отображениями?

например отношения