Глянул кусок лекции ещё раз.
В случае с группами он предлагает рассмотреть G -> G^Z (отобразить группу во множество морфизмов из Z в неё). Каждому морфизму групп из Z в G он сопоставляет морфизм f_g, переводящий единицу в элемент g. Дескать, если мы знаем, в какой элемент группы переходит единица, то мы знаем куда перешла двойка, тройка и т.п., g ничем не ограничены. То есть морфизмов из Z в G ровно столько, сколько элементов в группе G.
Как из этого следует представимость?

А, всё. Я понял.

Этого достаточно, чтобы судить о том, что такой забывающий функтор и есть степенной.

|Hom(Z,X)| != |X^Z| в Grp

Это же гомоморфизмы, а не просто отображения между множествами носителями структуры группы

Так стоп. Речь же не об этом, а о том, что Hom(Z, X) равномощно X.

в Set, да

Т.е. речь о том, что достаточно естественно, что забывание структуры группы эквивалентно переводу её в A^X, где A - указанный нами представитель.

Эквивалентность мы и показали, этого достаточно, не?

Где ни читаю, все строят естественный изоморфизм из Hom(A, X) в X, дескать этого достаточно для представимости забывающего функтора

А что-то еще разве надо?

Найти представляющий объект по ковариантному функтору и проверить естественный изоморфизм

Я скорее концептуально не понимаю сопоставление функтора forget и степенного функтора.
forget переводит объект в себя как множеств с забытой структурой, а морфизмы вкладывает. Тут всё тривиально.
Степенной же функтор переводит объект во множество морфизмов из представителя в него, а морфизмы между двумя объектами - во множество морфизмов между степенями объектов.

Так вот. Как естественная изоморфность Hom(A, X) объекту X позволяет нам сделать вывод о представимости?

По определению представимости, хз

Только изоморфизм не объекта и функтора, а функтора и функтора

У тебя не то написано

Ой. Я Hom(A, X) представляю как само по себе множество морфизмов.

Там в лекции той же на основании именно этого делался вывод о представимости.

Насколько я понимаю, так не совсем корректно говорить, но мб я не прав