Во-первых, в очень многих категориях, бывает куча эндоморфизмов.
Во-вторых, есть и другое определение категории, не использующее объекты. В любом случае, объекты, это не основная сущность в категории, это только лишь точки, между которыми соединяются стрелки. На объектах даже равенство не определено, а хоть какое-то отношение объектов между собой ведётся только через стрелки и их свойства.
Главные в категории — стрелки, от них и плясать.
А про объекты, при желании, можно и вовсе забыть.

👍

Добросить?

Конечно.

Может помочь пример свободной категории, построенной на пачке морфизмов.
Берём кучу "петелек" и говорим, что это наши стрелки и они все различны. Т.е., по построению различны, мы так вот строим эту категорию.
Остальные стрелки категории, это какие-нибудь композции уже существующих стрелок.
Ну и отдельно от всего, понятное дело, единичная стрелка.

Блин, я вот именно её и хотел

Свободные категории очень полезны для визуализации и хорошо отвечают на вопрос
https://t.me/ru_catheory/5112
морфизм - это просто цепочка в графе, айдентити - пустая цепочка, композиция - конкатенаци цепочек.
Как записать ? Как список рёбер (морфизмов), которые мы собрали в цепочку (скомпозировали)

Для каждой вершины циклы с ней образуют моноид, сразу понятно как эти моноиды композить

Для задания функтора достаточно отобразить вершины на какие-то объекты, и превратить каждое единичное ребро в какой-то морфизм. Остальное получится из законов функтора

Функторы  в Сет или в другие свободные категории образуют интересные семантики

Такую категорию вполне можно закодить в любом языке, строить функторы и, например определить процедуру проверки, что преобразование является естественным.
Достаточно пройтись по всем рёбрам графа

Мне вот интересно, а ведь всякую такую свободную категорию можно описать некой алгебраической структурой: выделить какую-то систему образующий и отношения на них, и рассмотреть её как подобие графа Кели, только, понятное дело, не обязательно для группы. Да?

Ну просто когда мы говорим про "граф", обычно имеем в виду "финитный"

То что выше хорошо зашло, эту часть уже не могу в голове нарисовать.

А свободная категония строится на квиверах любого размера

Надо почитать про естественное преобразование, и подумать, как условие естественности для любой цепочки получить из условий естественности для отдельных рёбер

@odomontois Берем из нашей категории два композабельных морфизма: a, b, c, f: a -> b, g: b -> c
Задаем два функтора: F, G
Ну и условием естественности для проеобразования t будет:
t(Fm(g . h)) t(Fo(a)) == t(Fo(c))

Fm, Fo?

Отображение морфизмов и объектов

не, неправильное условие