ну чем тебе плохо через категорию произведений

хороший вопрос
надо подумать

считай, что это обычное категорное произведение в Cat

Ну вот, как я уже написал, тогда известен один пример моноидальной категории.
Правда, уж очень хорошим свойствами обладающей.
Понятно, что мы из пары можем извлечь внутреннее содержимое, так?
А в моноидальной категории общего вида, из (a,b) ты никакие значения a или b получить не сможешь ;-)
Точно так же, как из тензорного произведения пространств, каждое пространство в отдельности получить не сможешь.
Ну или вот есть ещё такая категория, где объекты — натуральные числа, стрелки, это <, а тензорное поизведение — сложение чисел.
Понятно, что из суммы двух чисел, в общем случае, не догадаться, какие именно числа складывали.

или в CAT

всё, кажется я доложил пропущенный кирпич в картине
я пропустил, что (2,4) в (2,4) -> 6 из другой категории, а не из прежней

другой глупый вопрос для картины
как из категории C получить (C,C)?
в общем случае получается из C и D получить (C,D)

Вместо D подставляешь C и всё ;-)

Нукак. Это декартовое произведение в категории Cat, от этого и сразу можно получить определение.

перечитал определения, вроде теперь понятно

@Comonoid @odomontois спасибо за объяснения и терпение

А Олегу спасибо? Он, вроде, всё по делу говорил ;-)

А @odomontois это я

Ой, перетупал ;-)

Летняя школа JetBrains Research по теории категорий (Санкт-Петербург, август 2018):
https://research.jetbrains.org/groups/plt_lab/schools?id=17

Скажите, а свободные монады имеют какой-то смысл в теории категорий? Как какой-нибудь инициальный объект или вроде того

Да, имеют.

А где про это читать?

ну как обычно левое сопряжение забывчивого или
или фри моноид как инициальная агебра X. (I + F х X) в категории эндофунтокров с композицией как произведением

Понятно

Категорно более правильное объяснение привлекает категорию эндофункторов и категорию монад.