Понятно, ключевые мысли:
+ называть вещи однозначно и понятно
+ при этом не усложнять
Касательно ачивок, они так или иначе вытекают из отслеживаемых событий, будь то скорость, количество или получение чего-то, так что мне кажется органичной частью общей статистики персонажа, оно и является подклассом класса статистики и сериализуется на диск всё вместе. Не вижу вариант, при котором мне имеет смысл отделять логику учета ачивок от общей статистики, разве что для уменьшения общей громоздкости
Если честно, то я не сталкивался с таким одним масштабным классом для статистики, если он и обрабатывает все события игры, то пусть, как исключение будет Manager, но я бы назвал его Observer. Для меня Manager может всё (сохранять, выводить на экран, изменять и т. д.)