Смотрите также решения остальных задач заочного тура олимпиады по геометрии им. И.Ф.Шарыгина.

#ссылка

Объявляю неделю простых задач.

116. Через вершины А и С треугольника АВС проведены прямые, перпендикулярные биссектрисе угла АВС. Они пересекают прямые СВ и ВА в точках К и М соответственно. Найдите длину АВ, если ВМ = 8 см, KC = 1 см и АВ > ВС.

#задача

Картинка 33. Разворот иглы в дельтоиде. Долгое время считалось, что дельтоида и есть та самая кривая, ограничивающая минимальную площадь, внутри которой можно развернуть иголку (отрезок) на 180°. Так считалось до тех пор, пока не появилось множество Какейя, но об этом завтра.

#картинка

Решение задачи 116.

#решение

117. Можно ли расположить на плоскости, но не на одной прямой, пять точек так, чтобы выполнялось условие: «если три точки являются вершинами треугольника, то этот треугольник — прямоугольный»?

#задача

#картинка

Картинка 34. Оказывается иголку можно развернуть, передвигая её внутри множества произвольно малой меры (площади). Увы, множество нулевой меры для этих целей невозможно. На рисунке представлено множество Безиковича, который решил эту задачу. Подробности тут: https://en.wikipedia.org/wiki/Kakeya_set  
#картинка

Внезапно и вне очереди: задача 26 с сегодняшнего ОГЭ.

118. Есть прямоугольная трапеция ABCD. Основание ВС=a, основание AD=2a. Угол BAD прямой. Окружность проходит через C и D. Касается AB в точке Р. Найти расстояние от Р до CD.

#задача

Решение задачи 118.

#решение

119. Даны десять точек, расположенные в виде «равностороннего треугольника». Зачеркните некоторые из точек так, чтобы нельзя было построить ни одного равностороннего треугольника с вершинами в оставшихся точках. Постарайтесь зачеркнуть наименьшее количество точек.

        *
     *    *
  *    *    *
*    *    *    *

#задача

#картинка

Картинка 35. Диван Хаммерсли. Задача о повороте дивана ставится так. В двумерном пространстве определите жёсткое тело наибольшей площади А, которое может быть перемещено в Г-образном «коридоре», образованном «тоннелями» шириной в единицу измерения, сходящимися под прямым углом. Полученное значение А принято называть константой дивана. На рисунке константа дивана равна pi/2+2/pi = 2.2... Поиск оптимального значения этой константы является открытой проблемой.

Решение задачи 114.

#решение

120. В треугольнике ABC проведены высоты АP и СN, которые пересекаются в точке H, лежащей внутри треугольника. Может ли угол АHС оказаться острым?

#задача

Картинка 36. Геометрический магический квадрат 3х3. Из трёх фигурок в каждом столбце, строке и диагонали можно сложить одну и ту же фигуру.

#картинка

Картинка 37. Мальтийский механизм — механизм прерывистого движения, преобразующий равномерное вращательное движение в прерывистое вращательное движение. Основное применение механизм получил в кинопроекторах в качестве скачкового механизма для прерывистого перемещения киноплёнки на шаг кадра. Создателями мальтийского механизма в кинематографе считаются французы Констенсуз и Бюнцли, получившие патент номер 261292 14 ноября 1896 года.

121. В треугольнике АВС проведены биссектрисы АМ и СK, пересекающиеся в точке О. Может ли угол АОС оказаться острым?

#задача

На этой неделе были простые задачки. Как вам?